Giải tích Ví dụ

$x^{2} e^{x}$

Bước 1

Viết $x^{2} e^{x}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = x^{2} e^{x}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Bước 2.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

$f'' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x e^{x}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{x})$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 3.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 3.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Bước 3.3.5

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x})$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x}) + 2 e^{x}$

Bước 3.4.2

Cộng $e^{x} (2 x)$ và $2 x e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Di chuyển $e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

Bước 3.4.2.2

Cộng $2 x e^{x}$ và $2 x e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Bước 3.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$

Bước 3.4.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Bước 4

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

Bước 5

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 5.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Bước 5.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Bước 5.1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Bước 5.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Bước 6

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

Bước 6.2

Đưa $x e^{x}$ ra ngoài $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Đưa $x e^{x}$ ra ngoài $x^{2} e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + 2 x e^{x} = 0$

Bước 6.2.2

Đưa $x e^{x}$ ra ngoài $2 x e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + x e^{x} (2) = 0$

Bước 6.2.3

Đưa $x e^{x}$ ra ngoài $x e^{x} (x) + x e^{x} (2)$ .

$x e^{x} (x + 2) = 0$

Bước 6.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

Bước 6.4

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 6.5

Đặt $e^{x}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Đặt $e^{x}$ bằng với $0$ .

$e^{x} = 0$

Bước 6.5.2

Giải $e^{x} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Bước 6.5.2.2

Không thể giải phương trình vì $\ln (0)$ không xác định.

Không xác định

Bước 6.5.2.3

Không có đáp án nào cho $e^{x} = 0$

Không có đáp án

Bước 6.6

Đặt $x + 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Đặt $x + 2$ bằng với $0$ .

$x + 2 = 0$

Bước 6.6.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 2$

Bước 6.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x e^{x} (x + 2) = 0$ đúng.

$x = 0, - 2$

Bước 7

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 8

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 0, - 2$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

${(0)}^{2} e^{0} + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Bước 10

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 e^{0} + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Bước 10.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$0 \cdot 1 + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Bước 10.1.3

Nhân $0$ với $1$ .

$0 + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Bước 10.1.4

Nhân $4$ với $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 2 e^{0}$

Bước 10.1.5

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 2 e^{0}$

Bước 10.1.6

Nhân $0$ với $1$ .

$0 + 0 + 2 e^{0}$

Bước 10.1.7

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$0 + 0 + 2 \cdot 1$

Bước 10.1.8

Nhân $2$ với $1$ .

$0 + 0 + 2$

Bước 10.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$0 + 2$

Bước 10.2.2

Cộng $0$ và $2$ .

$2$

Bước 11

$x = 0$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 0$ là cực tiểu địa phương

Bước 12

Tìm giá trị y khi $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = {(0)}^{2} e^{0}$

Bước 12.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = 0 e^{0}$

Bước 12.2.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$f (0) = 0 \cdot 1$

Bước 12.2.3

Nhân $0$ với $1$ .

$f (0) = 0$

Bước 12.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$y = 0$

Bước 13

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = - 2$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

${(- 2)}^{2} e^{- 2} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Bước 14

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$4 e^{- 2} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Bước 14.1.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{e^{2}} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Bước 14.1.3

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Bước 14.1.4

Nhân $4$ với $- 2$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Bước 14.1.5

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 \frac{1}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Bước 14.1.6

Kết hợp $- 8$ và $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} + \frac{- 8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Bước 14.1.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Bước 14.1.8

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 \frac{1}{e^{2}}$

Bước 14.1.9

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + \frac{2}{e^{2}}$

Bước 14.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4 - 8 + 2}{e^{2}}$

Bước 14.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.2.1

Trừ $8$ khỏi $4$ .

$\frac{- 4 + 2}{e^{2}}$

Bước 14.2.2.2

Cộng $- 4$ và $2$ .

$\frac{- 2}{e^{2}}$

Bước 14.2.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{e^{2}}$

Bước 15

$x = - 2$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = - 2$ là cực đại địa phương

Bước 16

Tìm giá trị y khi $x = - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

Bước 16.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 2) = 4 e^{- 2}$

Bước 16.2.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 2) = 4 (\frac{1}{e^{2}})$

Bước 16.2.3

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f (- 2) = \frac{4}{e^{2}}$

Bước 16.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{4}{e^{2}}$ .

$y = \frac{4}{e^{2}}$

Bước 17

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = x^{2} e^{x}$ .

$(0, 0)$ là một cực tiểu địa phương

$(- 2, \frac{4}{e^{2}})$ là một cực đại địa phuơng

Bước 18