Giải tích Ví dụ

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $a x^{2} + b x + c$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [a x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $a$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $a x^{2}$ đối với $x$ là $a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$a (2 x) + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Bước 1.1.2.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $a$ .

$2 a x + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [b x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $b$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $b x$ đối với $x$ là $b \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 a x + b \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 a x + b \cdot 1 + \frac{d}{d x} [c]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $b$ với $1$ .

$2 a x + b + \frac{d}{d x} [c]$

Bước 1.1.4

Vì $c$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $c$ đối với $x$ là $0$ .

$2 a x + b + 0$

Bước 1.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Cộng $2 a x + b$ và $0$ .

$2 a x + b$

Bước 1.1.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = b + 2 a x$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $b + 2 a x$ .

$b + 2 a x$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $b + 2 a x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$b + 2 a x = 0$

Bước 2.2

Trừ $b$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 a x = - b$

Bước 2.3

Chia mỗi số hạng trong $2 a x = - b$ cho $2 a$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 a x = - b$ cho $2 a$ .

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

Bước 2.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

Bước 2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $a$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

Bước 2.3.2.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- b}{2 a}$

Bước 2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{b}{2 a}$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 4

Tính $a x^{2} + b x + c$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $- \frac{b}{2 a}$ bằng $x$ .

$a {(- \frac{b}{2 a})}^{2} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{b}{2 a}$ .

$a ({(- 1)}^{2} {(\frac{b}{2 a})}^{2}) + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Bước 4.1.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{b}{2 a}$ .

$a ({(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{{(2 a)}^{2}}) + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Bước 4.1.2.1.1.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 a$ .

$a ({(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{2^{2} a^{2}}) + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Bước 4.1.2.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

${(- 1)}^{2} a \frac{b^{2}}{2^{2} a^{2}} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Bước 4.1.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $a$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.3.1

Đưa $a$ ra ngoài ${(- 1)}^{2} a$ .

$a {(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{2^{2} a^{2}} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Bước 4.1.2.1.3.2

Đưa $a$ ra ngoài $2^{2} a^{2}$ .

$a {(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{a (2^{2} a)} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Bước 4.1.2.1.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$a {(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{a (2^{2} a)} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Bước 4.1.2.1.3.4

Viết lại biểu thức.

${(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Bước 4.1.2.1.4

Kết hợp ${(- 1)}^{2}$ và $\frac{b^{2}}{2^{2} a}$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Bước 4.1.2.1.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.5.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1 b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Bước 4.1.2.1.5.2

Nhân $b^{2}$ với $1$ .

$\frac{b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Bước 4.1.2.1.6

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Bước 4.1.2.1.7

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{b^{2}}{4 a} - b \frac{b}{2 a} + c$

Bước 4.1.2.1.8

Nhân $- b \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.8.1

Kết hợp $\frac{b}{2 a}$ và $b$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b \cdot b}{2 a} + c$

Bước 4.1.2.1.8.2

Nâng $b$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{1} b}{2 a} + c$

Bước 4.1.2.1.8.3

Nâng $b$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{1} b^{1}}{2 a} + c$

Bước 4.1.2.1.8.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{1 + 1}}{2 a} + c$

Bước 4.1.2.1.8.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2}}{2 a} + c$

Bước 4.1.2.2

Để viết $- \frac{b^{2}}{2 a}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2}}{2 a} \cdot \frac{2}{2} + c$

Bước 4.1.2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4 a$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.3.1

Nhân $\frac{b^{2}}{2 a}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2} \cdot 2}{2 a \cdot 2} + c$

Bước 4.1.2.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2} \cdot 2}{4 a} + c$

Bước 4.1.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{b^{2} - b^{2} \cdot 2}{4 a} + c$

Bước 4.1.2.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.5.1.1

Đưa $b^{2}$ ra ngoài $b^{2} - b^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.5.1.1.1

Nhân với $1$ .

$\frac{b^{2} \cdot 1 - b^{2} \cdot 2}{4 a} + c$

Bước 4.1.2.5.1.1.2

Đưa $b^{2}$ ra ngoài $- b^{2} \cdot 2$ .

$\frac{b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 1 \cdot 2)}{4 a} + c$

Bước 4.1.2.5.1.1.3

Đưa $b^{2}$ ra ngoài $b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{b^{2} (1 - 1 \cdot 2)}{4 a} + c$

Bước 4.1.2.5.1.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{b^{2} (1 - 2)}{4 a} + c$

Bước 4.1.2.5.1.3

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{b^{2} \cdot - 1}{4 a} + c$

Bước 4.1.2.5.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $b^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot b^{2}}{4 a} + c$

Bước 4.1.2.5.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{b^{2}}{4 a} + c$

Bước 4.2

Liệt kê tất cả các điểm.

$(- \frac{b}{2 a}, - \frac{b^{2}}{4 a} + c)$

Bước 5