Giải tích Ví dụ

$\ln (5) + \frac{1}{2} \cdot \ln (x + 3) - 3 \ln (1 + \sqrt{x})$

Bước 1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Rút gọn $\frac{1}{2} \ln (x + 3)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{2}$ trong logarit.

$\ln (5) + \ln ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) - 3 \ln (1 + \sqrt{x})$

Bước 1.2

Rút gọn $- 3 \ln (1 + \sqrt{x})$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$\ln (5) + \ln ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({(1 + \sqrt{x})}^{3})$

Bước 2

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({(1 + \sqrt{x})}^{3})$

Bước 3

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \sqrt{x})}^{3}})$

Bước 4

Sử dụng định lý nhị thức.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1^{3} + 3 \cdot 1^{2} \sqrt{x} + 3 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{2} + {\sqrt{x}}^{3}})$

Bước 5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \cdot 1^{2} \sqrt{x} + 3 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{2} + {\sqrt{x}}^{3}})$

Bước 5.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \cdot 1 \sqrt{x} + 3 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{2} + {\sqrt{x}}^{3}})$

Bước 5.3

Nhân $3$ với $1$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{2} + {\sqrt{x}}^{3}})$

Bước 5.4

Nhân $3$ với $1$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 {\sqrt{x}}^{2} + {\sqrt{x}}^{3}})$

Bước 5.5

Viết lại ${\sqrt{x}}^{2}$ ở dạng $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{x}}^{3}})$

Bước 5.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{x}}^{3}})$

Bước 5.5.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{x}}^{3}})$

Bước 5.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{x}}^{3}})$

Bước 5.5.4.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x^{1} + {\sqrt{x}}^{3}})$

Bước 5.5.5

Rút gọn.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x + {\sqrt{x}}^{3}})$

Bước 5.6

Viết lại ${\sqrt{x}}^{3}$ ở dạng $\sqrt{x^{3}}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x + \sqrt{x^{3}}})$

Bước 5.7

Đưa $x^{2}$ ra ngoài.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x + \sqrt{x^{2} x}})$

Bước 5.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x + x \sqrt{x}})$

Bước 6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x + x \sqrt{x}})$

Bước 6.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x + x \cdot x^{\frac{1}{2}}})$

Bước 6.3

Nhân $x$ với $x^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $x$ với $x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x + x^{1} x^{\frac{1}{2}}})$

Bước 6.3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x + x^{1 + \frac{1}{2}}})$

Bước 6.3.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x + x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}})$

Bước 6.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x + x^{\frac{2 + 1}{2}}})$

Bước 6.3.4

Cộng $2$ và $1$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x + x^{\frac{3}{2}}})$

Bước 6.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x + 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} + 1})$

Bước 6.5

Viết lại $3 x + 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} + 1$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Đưa $3 x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $3 x + 3 x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1.1

Đưa $3 x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $3 x$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}}) + 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} + 1})$

Bước 6.5.1.2

Đưa $3 x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}}) + 3 x^{\frac{1}{2}} (1) + x^{\frac{3}{2}} + 1})$

Bước 6.5.1.3

Đưa $3 x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}}) + 3 x^{\frac{1}{2}} (1)$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + x^{\frac{3}{2}} + 1})$

Bước 6.5.2

Viết lại $x^{\frac{3}{2}}$ ở dạng ${(x^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} + 1})$

Bước 6.5.3

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} + 1^{3}})$

Bước 6.5.4

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức tổng các lập phương, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ với $a = x^{\frac{1}{2}}$ và $b = 1$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2})})$

Bước 6.5.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.5.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.5.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2})})$

Bước 6.5.5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.5.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2})})$

Bước 6.5.5.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{1} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2})})$

Bước 6.5.5.2

Rút gọn.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2})})$

Bước 6.5.5.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x - x^{\frac{1}{2}} + 1^{2})})$

Bước 6.5.5.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x - x^{\frac{1}{2}} + 1)})$

Bước 6.5.6

Đưa $x^{\frac{1}{2}} + 1$ ra ngoài $3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x - x^{\frac{1}{2}} + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.6.1

Đưa $x^{\frac{1}{2}} + 1$ ra ngoài $3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1)$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (3 x^{\frac{1}{2}}) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x - x^{\frac{1}{2}} + 1)})$

Bước 6.5.6.2

Đưa $x^{\frac{1}{2}} + 1$ ra ngoài $(x^{\frac{1}{2}} + 1) (3 x^{\frac{1}{2}}) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x - x^{\frac{1}{2}} + 1)$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (3 x^{\frac{1}{2}} + x - x^{\frac{1}{2}} + 1)})$

Bước 6.5.7

Trừ $x^{\frac{1}{2}}$ khỏi $3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (x + 2 x^{\frac{1}{2}} + 1)})$

Bước 6.5.8

Viết lại $x$ ở dạng ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} + 1)})$

Bước 6.5.9

Giả sử $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (u^{2} + 2 u + 1)})$

Bước 6.5.10

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.10.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (u^{2} + 2 u + 1^{2})})$

Bước 6.5.10.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Bước 6.5.10.3

Viết lại đa thức này.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2})})$

Bước 6.5.10.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = u$ và $b = 1$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) {(u + 1)}^{2}})$

Bước 6.5.11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}})$

Bước 7

Nhân $x^{\frac{1}{2}} + 1$ với ${(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $x^{\frac{1}{2}} + 1$ với ${(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Nâng $x^{\frac{1}{2}} + 1$ lên lũy thừa $1$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{1} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}})$

Bước 7.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{1 + 2}})$

Bước 7.2

Cộng $1$ và $2$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}})$