Giải tích Ví dụ

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \csc^{2} (\frac{1}{3} x)$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $f (x)$ bằng cách tìm giá trị của tích phân bất định của đạo hàm $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Bước 2

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (\frac{1}{3} x) d x$

Bước 3

Giả sử $u = \frac{1}{3} x$ . Sau đó $d u = \frac{1}{3} d x$ , nên $3 d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = \frac{1}{3} x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $\frac{1}{3} x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x]$

Bước 3.1.2

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{3} x$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Bước 3.1.4

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$\frac{1}{3}$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) (1 \cdot 3) d u$

Bước 4.2

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) \cdot 3 d u$

Bước 4.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\csc^{2} (u)$ .

$\frac{1}{3} \int 3 \csc^{2} (u) d u$

Bước 5

Vì $3$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} (3 \int \csc^{2} (u) d u)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} \int \csc^{2} (u) d u$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{3} \int \csc^{2} (u) d u$

Bước 6.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int \csc^{2} (u) d u$

Bước 6.3

Nhân $\int \csc^{2} (u) d u$ với $1$ .

$\int \csc^{2} (u) d u$

Bước 7

Vì đạo hàm của $- \cot (u)$ là $\csc^{2} (u)$ , tích phân của $\csc^{2} (u)$ là $- \cot (u)$ .

$- \cot (u) + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{1}{3} x$ .

$- \cot (\frac{1}{3} x) + C$

Bước 9

Hàm số $f$ nếu được tính từ tích phân của đạo hàm của hàm số. Điều này thỏa định lý cơ bản của giải tích.

$f (x) = - \cot (\frac{1}{3} x) + C$