Giải tích Ví dụ

$\frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}}$

Bước 1

Viết $\frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}} d x$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{5} - x^{3} + 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{5}$ .

$\int \frac{x \cdot x^{4} - x^{3} + 2 x}{x^{4}} d x$

Bước 4.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $- x^{3}$ .

$\int \frac{x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + 2 x}{x^{4}} d x$

Bước 4.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $2 x$ .

$\int \frac{x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot 2}{x^{4}} d x$

Bước 4.1.4

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ .

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot 2}{x^{4}} d x$

Bước 4.1.5

Đưa $x$ ra ngoài $x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot 2$ .

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 2)}{x^{4}} d x$

Bước 4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4}$ .

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 2)}{x \cdot x^{3}} d x$

Bước 4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 2)}{x \cdot x^{3}} d x$

Bước 4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{x^{4} - x^{2} + 2}{x^{3}} d x$

Bước 5

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển $x^{3}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int (x^{4} - x^{2} + 2) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Bước 5.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{4} - x^{2} + 2) x^{3 \cdot - 1} d x$

Bước 5.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\int (x^{4} - x^{2} + 2) x^{- 3} d x$

Bước 6

Khai triển $(x^{4} - x^{2} + 2) x^{- 3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (x^{4} - x^{2}) x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int x^{4} x^{- 3} - x^{2} x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

Bước 6.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{4 - 3} - x^{2} x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

Bước 6.4

Trừ $3$ khỏi $4$ .

$\int x^{1} - x^{2} x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

Bước 6.5

Rút gọn.

$\int x - x^{2} x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

Bước 6.6

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\int x - (x^{2} x^{- 3}) + 2 x^{- 3} d x$

Bước 6.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x - x^{2 - 3} + 2 x^{- 3} d x$

Bước 6.8

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$\int x - x^{- 1} + 2 x^{- 3} d x$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int x d x + \int - x^{- 1} d x + \int 2 x^{- 3} d x$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - x^{- 1} d x + \int 2 x^{- 3} d x$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int x^{- 1} d x + \int 2 x^{- 3} d x$

Bước 10

Tích phân của $x^{- 1}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + \int 2 x^{- 3} d x$

Bước 11

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 2 \int x^{- 3} d x$

Bước 12

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 3}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Kết hợp $x^{- 2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Bước 13.1.2

Di chuyển $x^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Bước 13.2

Rút gọn.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Bước 13.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - 2 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Bước 13.3.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{- 2}{2 x^{2}} + C$

Bước 13.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{2}} + C$

Bước 13.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{2})} + C$

Bước 13.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{2}} + C$

Bước 13.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{- 1}{x^{2}} + C$

Bước 13.3.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - \frac{1}{x^{2}} + C$

Bước 14

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - \frac{1}{x^{2}} + C$