Giải tích Ví dụ

$R' (x) = 4 x {(x^{2} + 27000)}^{- \frac{2}{3}}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $R (x)$ bằng cách tìm giá trị của tích phân bất định của đạo hàm $R' (x)$ .

$R (x) = \int R' (x) d x$

Bước 2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int x {(x^{2} + 27000)}^{- \frac{2}{3}} d x$

Bước 3

Giả sử $u = x^{2} + 27000$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = x^{2} + 27000$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 27000$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 27000]$

Bước 3.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 27000$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27000]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27000]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [27000]$

Bước 3.1.4

Vì $27000$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $27000$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 3.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$4 \int u^{- \frac{2}{3}} \frac{1}{2} d u$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $u^{- \frac{2}{3}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$4 \int \frac{u^{- \frac{2}{3}}}{2} d u$

Bước 4.2

Di chuyển $u^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \int \frac{1}{2 u^{\frac{2}{3}}} d u$

Bước 5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u)$

Bước 6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$\frac{4}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Bước 6.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Bước 6.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Bước 6.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Bước 6.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Bước 6.1.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$2 \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Bước 6.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Di chuyển $u^{\frac{2}{3}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$2 \int {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

Bước 6.2.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

Bước 6.2.2.2

Nhân $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $- 1$ .

$2 \int u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

Bước 6.2.2.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$2 \int u^{\frac{- 2}{3}} d u$

Bước 6.2.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 \int u^{- \frac{2}{3}} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{2}{3}}$ đối với $u$ là $3 u^{\frac{1}{3}}$ .

$2 (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại $2 (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$ ở dạng $2 \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$ .

$2 \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$

Bước 8.2

Nhân $2$ với $3$ .

$6 u^{\frac{1}{3}} + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 27000$ .

$6 {(x^{2} + 27000)}^{\frac{1}{3}} + C$

Bước 10

Hàm số $R$ nếu được tính từ tích phân của đạo hàm của hàm số. Điều này thỏa định lý cơ bản của giải tích.

$R (x) = 6 {(x^{2} + 27000)}^{\frac{1}{3}} + C$