Giải tích Ví dụ

$s' (t) = t {(t - 1)}^{2}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $s (t)$ bằng cách tìm giá trị của tích phân bất định của đạo hàm $s' (t)$ .

$s (t) = \int s' (t) d t$

Bước 2

Giả sử $u = t - 1$ . Sau đó $d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = t - 1$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $t - 1$ .

$\frac{d}{d t} [t - 1]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t - 1$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.1.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $t$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int (u + 1) u^{2} d u$

Bước 3

Khai triển $(u + 1) u^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int u \cdot u^{2} + 1 u^{2} d u$

Bước 3.2

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int u^{1} u^{2} + 1 u^{2} d u$

Bước 3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int u^{1 + 2} + 1 u^{2} d u$

Bước 3.4

Cộng $1$ và $2$ .

$\int u^{3} + 1 u^{2} d u$

Bước 3.5

Nhân $u^{2}$ với $1$ .

$\int u^{3} + u^{2} d u$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int u^{3} d u + \int u^{2} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int u^{2} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Bước 7

Rút gọn.

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $t - 1$ .

$\frac{1}{4} {(t - 1)}^{4} + \frac{1}{3} {(t - 1)}^{3} + C$

Bước 9

Hàm số $s$ nếu được tính từ tích phân của đạo hàm của hàm số. Điều này thỏa định lý cơ bản của giải tích.

$s (t) = \frac{1}{4} \cdot {(t - 1)}^{4} + \frac{1}{3} \cdot {(t - 1)}^{3} + C$