Giải tích Ví dụ

$\cos^{3} (x)$

Bước 1

Viết $\cos^{3} (x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \cos^{3} (x)$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \cos^{3} (x) d x$

Bước 4

Đưa $\cos^{2} (x)$ ra ngoài.

$\int \cos^{2} (x) \cos (x) d x$

Bước 5

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\cos^{2} (x)$ ở dạng $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x$

Bước 6

Giả sử $u = \sin (x)$ . Sau đó $d u = \cos (x) d x$ , nên $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u = \sin (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 6.1.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int 1 - u^{2} d u$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int d u + \int - u^{2} d u$

Bước 8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$u + C + \int - u^{2} d u$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$u + C - \int u^{2} d u$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Bước 11

Rút gọn.

$u - \frac{1}{3} u^{3} + C$

Bước 12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (x)$ .

$\sin (x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (x) + C$

Bước 13

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \cos^{3} (x)$ .

$F (x) =$ $\sin (x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (x) + C$