Giải tích Ví dụ

$f (p) = 4 {(p^{2} - 1)}^{3} (2 p)$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (p)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (p)$ .

$F (p) = \int f (p) d p$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (p) = \int 4 {(p^{2} - 1)}^{3} (2 p) d p$

Bước 3

Nhân $2$ với $4$ .

$\int 8 {(p^{2} - 1)}^{3} p d p$

Bước 4

Vì $8$ không đổi đối với $p$ , hãy di chuyển $8$ ra khỏi tích phân.

$8 \int {(p^{2} - 1)}^{3} p d p$

Bước 5

Giả sử $u = p^{2} - 1$ . Sau đó $d u = 2 p d p$ , nên $\frac{1}{2} d u = p d p$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = p^{2} - 1$ . Tìm $\frac{d u}{d p}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $p^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d p} [p^{2} - 1]$

Bước 5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $p^{2} - 1$ đối với $p$ là $\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [- 1]$ .

$\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [- 1]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ là $n p^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 p + \frac{d}{d p} [- 1]$

Bước 5.1.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $p$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $p$ là $0$ .

$2 p + 0$

Bước 5.1.5

Cộng $2 p$ và $0$ .

$2 p$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$8 \int u^{3} \frac{1}{2} d u$

Bước 6

Kết hợp $u^{3}$ và $\frac{1}{2}$ .

$8 \int \frac{u^{3}}{2} d u$

Bước 7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$8 (\frac{1}{2} \int u^{3} d u)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $8$ .

$\frac{8}{2} \int u^{3} d u$

Bước 8.2

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int u^{3} d u$

Bước 8.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int u^{3} d u$

Bước 8.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int u^{3} d u$

Bước 8.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4}{1} \int u^{3} d u$

Bước 8.2.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$4 \int u^{3} d u$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Viết lại $4 (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ ở dạng $4 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$ .

$4 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$

Bước 10.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} u^{4} + C$

Bước 10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4}{4} u^{4} + C$

Bước 10.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 u^{4} + C$

Bước 10.2.3

Nhân $u^{4}$ với $1$ .

$u^{4} + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $p^{2} - 1$ .

${(p^{2} - 1)}^{4} + C$

Bước 12

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (p) = 4 {(p^{2} - 1)}^{3} (2 p)$ .

$F (p) =$ ${(p^{2} - 1)}^{4} + C$