Giải tích Ví dụ

$\arctan (\frac{x}{2})$

Bước 1

Viết $\arctan (\frac{x}{2})$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \arctan (\frac{x}{2})$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \arctan (\frac{x}{2}) d x$

Bước 4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \arctan (\frac{x}{2})$ và $d v = 1$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - \int x \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $x$ và $\frac{2}{x^{2} + 4}$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - \int \frac{x \cdot 2}{x^{2} + 4} d x$

Bước 5.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - \int \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x$

Bước 6

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\arctan (\frac{x}{2}) x - (2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x)$

Bước 7

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x$

Bước 8

Giả sử $u = x^{2} + 4$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Hãy đặt $u = x^{2} + 4$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Bước 8.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 8.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 8.1.4

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 8.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 8.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Bước 9.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Bước 10

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 2$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 11.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 11.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 11.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 11.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 11.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - \int \frac{1}{u} d u$

Bước 12

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - (\ln (| u |) + C)$

Bước 13

Viết lại $\arctan (\frac{x}{2}) x - (\ln (| u |) + C)$ ở dạng $\arctan (\frac{1}{2} x) x - \ln (| u |) + C$ .

$\arctan (\frac{1}{2} x) x - \ln (| u |) + C$

Bước 14

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 4$ .

$\arctan (\frac{1}{2} x) x - \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

Bước 15

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \arctan (\frac{x}{2})$ .

$F (x) =$ $\arctan (\frac{1}{2} x) x - \ln (| x^{2} + 4 |) + C$