Giải tích Ví dụ

$4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9}$

Bước 1

Viết $4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int 4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9} d x$

Bước 4

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9} d x$

Bước 5

Giả sử $u = 3 x^{4} + 3$ . Sau đó $d u = 12 x^{3} d x$ , nên $\frac{1}{12} d u = x^{3} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 3 x^{4} + 3$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $3 x^{4} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4} + 3]$

Bước 5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{4} + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 5.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{4}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 5.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 5.1.3.3

Nhân $4$ với $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 5.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$12 x^{3} + 0$

Bước 5.1.4.2

Cộng $12 x^{3}$ và $0$ .

$12 x^{3}$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$4 \int u^{9} \frac{1}{12} d u$

Bước 6

Kết hợp $u^{9}$ và $\frac{1}{12}$ .

$4 \int \frac{u^{9}}{12} d u$

Bước 7

Vì $\frac{1}{12}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{12}$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{1}{12} \int u^{9} d u)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{12}$ và $4$ .

$\frac{4}{12} \int u^{9} d u$

Bước 8.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{4 (1)}{12} \int u^{9} d u$

Bước 8.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} \int u^{9} d u$

Bước 8.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} \int u^{9} d u$

Bước 8.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3} \int u^{9} d u$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{9}$ đối với $u$ là $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{10} u^{10} + C)$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Viết lại $\frac{1}{3} (\frac{1}{10} u^{10} + C)$ ở dạng $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{10} u^{10} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{10} u^{10} + C$

Bước 10.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{10}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 10} u^{10} + C$

Bước 10.2.2

Nhân $3$ với $10$ .

$\frac{1}{30} u^{10} + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x^{4} + 3$ .

$\frac{1}{30} {(3 x^{4} + 3)}^{10} + C$

Bước 12

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{30} {(3 x^{4} + 3)}^{10} + C$