Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{4}{x} + \frac{6}{\sqrt{x}} + \frac{7}{x^{2}}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{4}{x} + \frac{6}{\sqrt{x}} + \frac{7}{x^{2}} d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{4}{x} d x + \int \frac{6}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

Bước 4

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{6}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

Bước 5

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{6}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

Bước 6

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

Bước 7

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

Bước 7.2

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

Bước 7.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

Bước 7.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

Bước 7.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

Bước 9

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $7$ ra khỏi tích phân.

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 10

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 10.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Bước 10.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 \int x^{- 2} d x$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 (- x^{- 1} + C)$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn.

$4 \ln (| x |) + 12 x^{\frac{1}{2}} + 7 (- x^{- 1}) + C$

Bước 12.2

Nhân $- 1$ với $7$ .

$4 \ln (| x |) + 12 x^{\frac{1}{2}} - 7 x^{- 1} + C$

Bước 13

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{4}{x} + \frac{6}{\sqrt{x}} + \frac{7}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $4 \ln (| x |) + 12 x^{\frac{1}{2}} - 7 x^{- 1} + C$