Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{6 x^{5} - 17 x^{4} + 9 x^{3} + 10 x^{2}}{x^{3}}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{6 x^{5} - 17 x^{4} + 9 x^{3} + 10 x^{2}}{x^{3}} d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $6 x^{5} - 17 x^{4} + 9 x^{3} + 10 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $6 x^{5}$ .

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3}) - 17 x^{4} + 9 x^{3} + 10 x^{2}}{x^{3}} d x$

Bước 3.1.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- 17 x^{4}$ .

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3}) + x^{2} (- 17 x^{2}) + 9 x^{3} + 10 x^{2}}{x^{3}} d x$

Bước 3.1.3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $9 x^{3}$ .

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3}) + x^{2} (- 17 x^{2}) + x^{2} (9 x) + 10 x^{2}}{x^{3}} d x$

Bước 3.1.4

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $10 x^{2}$ .

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3}) + x^{2} (- 17 x^{2}) + x^{2} (9 x) + x^{2} \cdot 10}{x^{3}} d x$

Bước 3.1.5

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} (6 x^{3}) + x^{2} (- 17 x^{2})$ .

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3} - 17 x^{2}) + x^{2} (9 x) + x^{2} \cdot 10}{x^{3}} d x$

Bước 3.1.6

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} (6 x^{3} - 17 x^{2}) + x^{2} (9 x)$ .

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x) + x^{2} \cdot 10}{x^{3}} d x$

Bước 3.1.7

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} (6 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x) + x^{2} \cdot 10$ .

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x + 10)}{x^{3}} d x$

Bước 3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{3}$ .

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x + 10)}{x^{2} x} d x$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x + 10)}{x^{2} x} d x$

Bước 3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{6 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x + 10}{x} d x$

Bước 4

Chia $6 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x + 10$ cho $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x$

$0$

$6 x^{3}$

$17 x^{2}$

$9 x$

$10$

Bước 4.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $6 x^{3}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

					$6 x^{2}$
	$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$

Bước 4.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$6 x^{2}$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			+	$6 x^{3}$	+	$0$

Bước 4.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $6 x^{3} + 0$

				$6 x^{2}$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$

Bước 4.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$6 x^{2}$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$

Bước 4.6

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$6 x^{2}$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$

Bước 4.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $- 17 x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$6 x^{2}$	-	$17 x$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$

Bước 4.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$6 x^{2}$	-	$17 x$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$17 x^{2}$	+	$0$

Bước 4.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $- 17 x^{2} + 0$

				$6 x^{2}$	-	$17 x$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$17 x^{2}$	-	$0$

Bước 4.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$6 x^{2}$	-	$17 x$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$17 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$

Bước 4.11

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$6 x^{2}$	-	$17 x$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$17 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$10$

Bước 4.12

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $9 x$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$6 x^{2}$	-	$17 x$	+	$9$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$17 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$10$

Bước 4.13

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$6 x^{2}$	-	$17 x$	+	$9$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$17 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$10$
							+	$9 x$	+	$0$

Bước 4.14

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $9 x + 0$

				$6 x^{2}$	-	$17 x$	+	$9$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$17 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$10$
							-	$9 x$	-	$0$

Bước 4.15

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$6 x^{2}$	-	$17 x$	+	$9$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$17 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$10$
							-	$9 x$	-	$0$
									+	$10$

Bước 4.16

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$\int 6 x^{2} - 17 x + 9 + \frac{10}{x} d x$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 6 x^{2} d x + \int - 17 x d x + \int 9 d x + \int \frac{10}{x} d x$

Bước 6

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$6 \int x^{2} d x + \int - 17 x d x + \int 9 d x + \int \frac{10}{x} d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 17 x d x + \int 9 d x + \int \frac{10}{x} d x$

Bước 8

Vì $- 17$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 17$ ra khỏi tích phân.

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 17 \int x d x + \int 9 d x + \int \frac{10}{x} d x$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 17 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 9 d x + \int \frac{10}{x} d x$

Bước 10

Áp dụng quy tắc hằng số.

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 17 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 9 x + C + \int \frac{10}{x} d x$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 17 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 9 x + C + \int \frac{10}{x} d x$

Bước 11.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 17 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 9 x + C + \int \frac{10}{x} d x$

Bước 12

Vì $10$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $10$ ra khỏi tích phân.

$6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 17 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 9 x + C + 10 \int \frac{1}{x} d x$

Bước 13

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 17 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 9 x + C + 10 (\ln (| x |) + C)$

Bước 14

Rút gọn.

$2 x^{3} - \frac{17 x^{2}}{2} + 9 x + 10 \ln (| x |) + C$

Bước 15

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 x^{3} - \frac{17}{2} x^{2} + 9 x + 10 \ln (| x |) + C$

Bước 16

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{6 x^{5} - 17 x^{4} + 9 x^{3} + 10 x^{2}}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $2 x^{3} - \frac{17}{2} x^{2} + 9 x + 10 \ln (| x |) + C$