Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}}{x^{6}}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}}{x^{6}} d x$

Bước 3

Di chuyển $x^{6}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int (5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}) {(x^{6})}^{- 1} d x$

Bước 4

Nhân các số mũ trong ${(x^{6})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}) x^{6 \cdot - 1} d x$

Bước 4.2

Nhân $6$ với $- 1$ .

$\int (5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}) x^{- 6} d x$

Bước 5

Khai triển $(5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}) x^{- 6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (5 - 4 x^{3}) x^{- 6} + 2 x^{6} x^{- 6} d x$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{3} x^{- 6} + 2 x^{6} x^{- 6} d x$

Bước 5.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{3 - 6} + 2 x^{6} x^{- 6} d x$

Bước 5.4

Trừ $6$ khỏi $3$ .

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 x^{6} x^{- 6} d x$

Bước 5.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 x^{6 - 6} d x$

Bước 5.6

Trừ $6$ khỏi $6$ .

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 x^{0} d x$

Bước 5.7

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 \cdot 1 d x$

Bước 5.8

Nhân $2$ với $1$ .

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 d x$

Bước 5.9

Sắp xếp lại $5 x^{- 6}$ và $- 4 x^{- 3}$ .

$\int - 4 x^{- 3} + 5 x^{- 6} + 2 d x$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - 4 x^{- 3} d x + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Bước 7

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 4$ ra khỏi tích phân.

$- 4 \int x^{- 3} d x + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 3}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $x^{- 2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$- 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Bước 9.2

Di chuyển $x^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Bước 10

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 \int x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 6}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{5} x^{- 5}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C) + \int 2 d x$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kết hợp $x^{- 5}$ và $\frac{1}{5}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- \frac{x^{- 5}}{5} + C) + \int 2 d x$

Bước 12.2

Di chuyển $x^{- 5}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) + \int 2 d x$

Bước 13

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) + 2 x + C$

Bước 14

Rút gọn.

$\frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{x^{5}} + 2 x + C$

Bước 15

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}}{x^{6}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{x^{5}} + 2 x + C$