Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sqrt[3]{x^{2}} + x \sqrt{x}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \sqrt[3]{x^{2}} + x \sqrt{x} d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Bước 3.2

Nhân $x$ với $x^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân $x$ với $x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

Bước 3.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x^{1 + \frac{1}{2}} d x$

Bước 3.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d x$

Bước 3.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{2 + 1}{2}} d x$

Bước 3.2.4

Cộng $2$ và $1$ .

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \sqrt[3]{x^{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 5

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x^{2}}$ ở dạng $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{2}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{3}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 8

Rút gọn.

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 9

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}} + x \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$