Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \sqrt{x} d x + \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Bước 4

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} d x + \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Bước 6

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 6.2

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Bước 6.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Bước 6.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Bước 6.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 8

Rút gọn.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 9

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$