Giải tích Ví dụ

$f (p) = 7 {(p^{2} - 8)}^{6} (2 p)$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (p)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (p)$ .

$F (p) = \int f (p) d p$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (p) = \int 7 {(p^{2} - 8)}^{6} (2 p) d p$

Bước 3

Nhân $2$ với $7$ .

$\int 14 {(p^{2} - 8)}^{6} p d p$

Bước 4

Vì $14$ không đổi đối với $p$ , hãy di chuyển $14$ ra khỏi tích phân.

$14 \int {(p^{2} - 8)}^{6} p d p$

Bước 5

Giả sử $u = p^{2} - 8$ . Sau đó $d u = 2 p d p$ , nên $\frac{1}{2} d u = p d p$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = p^{2} - 8$ . Tìm $\frac{d u}{d p}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $p^{2} - 8$ .

$\frac{d}{d p} [p^{2} - 8]$

Bước 5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $p^{2} - 8$ đối với $p$ là $\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [- 8]$ .

$\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [- 8]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ là $n p^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 p + \frac{d}{d p} [- 8]$

Bước 5.1.4

Vì $- 8$ là hằng số đối với $p$ , đạo hàm của $- 8$ đối với $p$ là $0$ .

$2 p + 0$

Bước 5.1.5

Cộng $2 p$ và $0$ .

$2 p$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$14 \int u^{6} \frac{1}{2} d u$

Bước 6

Kết hợp $u^{6}$ và $\frac{1}{2}$ .

$14 \int \frac{u^{6}}{2} d u$

Bước 7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$14 (\frac{1}{2} \int u^{6} d u)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $14$ .

$\frac{14}{2} \int u^{6} d u$

Bước 8.2

Triệt tiêu thừa số chung của $14$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $14$ .

$\frac{2 \cdot 7}{2} \int u^{6} d u$

Bước 8.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 7}{2 (1)} \int u^{6} d u$

Bước 8.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 1} \int u^{6} d u$

Bước 8.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{7}{1} \int u^{6} d u$

Bước 8.2.2.4

Chia $7$ cho $1$ .

$7 \int u^{6} d u$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{6}$ đối với $u$ là $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$7 (\frac{1}{7} u^{7} + C)$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Viết lại $7 (\frac{1}{7} u^{7} + C)$ ở dạng $7 (\frac{1}{7}) u^{7} + C$ .

$7 (\frac{1}{7}) u^{7} + C$

Bước 10.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Kết hợp $7$ và $\frac{1}{7}$ .

$\frac{7}{7} u^{7} + C$

Bước 10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{7}{7} u^{7} + C$

Bước 10.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 u^{7} + C$

Bước 10.2.3

Nhân $u^{7}$ với $1$ .

$u^{7} + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $p^{2} - 8$ .

${(p^{2} - 8)}^{7} + C$

Bước 12

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (p) = 7 {(p^{2} - 8)}^{6} (2 p)$ .

$F (p) =$ ${(p^{2} - 8)}^{7} + C$