Giải tích Ví dụ

$f (x) = (x + 3) (4 x - 5)$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int (x + 3) (4 x - 5) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int x (4 x - 5) + 3 (4 x - 5) d x$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int x (4 x) + x \cdot - 5 + 3 (4 x - 5) d x$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int x (4 x) + x \cdot - 5 + 3 (4 x) + 3 \cdot - 5 d x$

Bước 3.4

Sắp xếp lại $x$ và $4$ .

$\int 4 \cdot x \cdot x + x \cdot - 5 + 3 (4 x) + 3 \cdot - 5 d x$

Bước 3.5

Sắp xếp lại $x$ và $- 5$ .

$\int 4 \cdot x \cdot x - 5 \cdot x + 3 (4 x) + 3 \cdot - 5 d x$

Bước 3.6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 4 (x^{1} x) - 5 x + 3 \cdot 4 x + 3 \cdot - 5 d x$

Bước 3.7

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 4 (x^{1} x^{1}) - 5 x + 3 \cdot 4 x + 3 \cdot - 5 d x$

Bước 3.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 4 x^{1 + 1} - 5 x + 3 \cdot 4 x + 3 \cdot - 5 d x$

Bước 3.9

Cộng $1$ và $1$ .

$\int 4 x^{2} - 5 x + 3 \cdot 4 x + 3 \cdot - 5 d x$

Bước 3.10

Nhân $3$ với $4$ .

$\int 4 x^{2} - 5 x + 12 x + 3 \cdot - 5 d x$

Bước 3.11

Nhân $3$ với $- 5$ .

$\int 4 x^{2} - 5 x + 12 x - 15 d x$

Bước 3.12

Cộng $- 5 x$ và $12 x$ .

$\int 4 x^{2} + 7 x - 15 d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 4 x^{2} d x + \int 7 x d x + \int - 15 d x$

Bước 5

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int x^{2} d x + \int 7 x d x + \int - 15 d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 7 x d x + \int - 15 d x$

Bước 7

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $7$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 7 \int x d x + \int - 15 d x$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 15 d x$

Bước 9

Áp dụng quy tắc hằng số.

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 15 x + C$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 15 x + C$

Bước 10.1.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 7 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 15 x + C$

Bước 10.2

Rút gọn.

$\frac{4 x^{3}}{3} + \frac{7 x^{2}}{2} - 15 x + C$

Bước 10.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{4}{3} x^{3} + \frac{7}{2} x^{2} - 15 x + C$

Bước 11

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = (x + 3) (4 x - 5)$ .

$F (x) =$ $\frac{4}{3} x^{3} + \frac{7}{2} x^{2} - 15 x + C$