Giải tích Ví dụ

$f (x) = (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x)$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x) d x$

Bước 3

Giả sử $u_{2} = \cot (π x)$ . Sau đó $d u_{2} = - π \csc^{2} (π x) d x$ , nên $- \frac{1}{π} d u_{2} = \csc^{2} (π x) d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u_{2} = \cot (π x)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $\cot (π x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (π x)]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cot (x)$ và $g (x) = π x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $π x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d x} [π x]$

Bước 3.1.2.2

Đạo hàm của $\cot (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \csc^{2} (u_{1})$ .

$- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [π x]$

Bước 3.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $π x$ .

$- \csc^{2} (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Vì $π$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $π x$ đối với $x$ là $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc^{2} (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \csc^{2} (π x) (π \cdot 1)$

Bước 3.1.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.3.1

Nhân $π$ với $1$ .

$- \csc^{2} (π x) π$

Bước 3.1.3.3.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- \csc^{2} (π x) π$ .

$- π \csc^{2} (π x)$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\int (- π - e^{u_{2}}) \frac{- 1}{- π} d u_{2}$

Bước 4

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\int (- π - e^{u_{2}}) \frac{1}{π} d u_{2}$

Bước 5

Vì $\frac{1}{π}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{π}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{π} \int - π - e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{π} (\int - π d u_{2} + \int - e^{u_{2}} d u_{2})$

Bước 7

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C + \int - e^{u_{2}} d u_{2})$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C - \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Bước 9

Tích phân của $e^{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C - (e^{u_{2}} + C))$

Bước 10

Rút gọn.

$\frac{1}{π} (- π u_{2} - e^{u_{2}}) + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\cot (π x)$ .

$\frac{1}{π} (- π \cot (π x) - e^{\cot (π x)}) + C$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{π} (- π \cot (π x)) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

Bước 12.2

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Đưa $π$ ra ngoài $- π \cot (π x)$ .

$\frac{1}{π} (π (- \cot (π x))) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

Bước 12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{π} (π (- \cot (π x))) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

Bước 12.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \cot (π x) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

Bước 12.3

Kết hợp $\frac{1}{π}$ và $e^{\cot (π x)}$ .

$- \cot (π x) - \frac{e^{\cot (π x)}}{π} + C$

Bước 13

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \cot (π x) - \frac{1}{π} e^{\cot (π x)} + C$

Bước 14

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x)$ .

$F (x) =$ $- \cot (π x) - \frac{1}{π} e^{\cot (π x)} + C$