Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{4} \cdot \sin^{2} (2 x)$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{1}{4} \cdot \sin^{2} (2 x) d x$

Bước 3

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} \int \sin^{2} (2 x) d x$

Bước 4

Giả sử $u_{1} = 2 x$ . Sau đó $d u_{1} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 4.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 4.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\frac{1}{4} \int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 5

Kết hợp $\sin^{2} (u_{1})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 7.2

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{1}{8} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 8

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\sin^{2} (u_{1})$ ở dạng $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{8} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Bước 9

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 8} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 10.2

Nhân $2$ với $8$ .

$\frac{1}{16} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 11

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{16} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 12

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{16} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 13

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 14

Giả sử $u_{2} = 2 u_{1}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 u_{1}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Tính đạo hàm $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Bước 14.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $2 u_{1}$ đối với $u_{1}$ là $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Bước 14.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 14.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 14.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Bước 15

Kết hợp $\cos (u_{2})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Bước 16

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Bước 17

Tích phân của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Bước 18

Rút gọn.

$\frac{1}{16} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Bước 19

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Bước 19.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Bước 19.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 (2 x))) + C$

Bước 20

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{1}{2} \sin (4 x)) + C$

Bước 20.1.2

Kết hợp $\sin (4 x)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Bước 20.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{16} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Bước 20.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$\frac{1}{2 (8)} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Bước 20.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{1}{2 (8)} (2 (x)) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Bước 20.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2 \cdot 8} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Bước 20.3.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{8} x + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Bước 20.4

Kết hợp $\frac{1}{8}$ và $x$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Bước 20.5

Nhân $\frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.5.1

Nhân $\frac{1}{16}$ với $\frac{\sin (4 x)}{2}$ .

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (4 x)}{16 \cdot 2} + C$

Bước 20.5.2

Nhân $16$ với $2$ .

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (4 x)}{32} + C$

Bước 21

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{8} x - \frac{1}{32} \sin (4 x) + C$

Bước 22

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{4} \cdot \sin^{2} (2 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{8} x - \frac{1}{32} \sin (4 x) + C$