Giải tích Ví dụ

$f (x) = x \sqrt{7 x^{2} + 2}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int x \sqrt{7 x^{2} + 2} d x$

Bước 3

Giả sử $u = 7 x^{2} + 2$ . Sau đó $d u = 14 x d x$ , nên $\frac{1}{14} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = 7 x^{2} + 2$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $7 x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 2]$

Bước 3.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 x^{2} + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 3.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x^{2}$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 3.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 3.1.3.3

Nhân $2$ với $7$ .

$14 x + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 3.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.1

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$14 x + 0$

Bước 3.1.4.2

Cộng $14 x$ và $0$ .

$14 x$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{14} d u$

Bước 4

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{14}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{14} d u$

Bước 5

Vì $\frac{1}{14}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{14}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{14} \int \sqrt{u} d u$

Bước 6

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{14} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{14} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại $\frac{1}{14} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ ở dạng $\frac{1}{14} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{14} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Nhân $\frac{1}{14}$ với $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{14 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 8.2.2

Nhân $14$ với $3$ .

$\frac{2}{42} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 8.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $42$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (1)}{42} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 8.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $42$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 21} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 8.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 21} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 8.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{21} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $7 x^{2} + 2$ .

$\frac{1}{21} {(7 x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 10

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = x \sqrt{7 x^{2} + 2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{21} {(7 x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$