Giải tích Ví dụ

$g (t) = \frac{1 + t + t^{2}}{\sqrt{t}}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $G (t)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $g (t)$ .

$G (t) = \int g (t) d t$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$G (t) = \int \frac{1 + t + t^{2}}{\sqrt{t}} d t$

Bước 3

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{t}$ ở dạng $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1 + t + t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Bước 4

Di chuyển $t^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int (1 + t + t^{2}) {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

Bước 5

Nhân các số mũ trong ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + t + t^{2}) t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

Bước 5.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\int (1 + t + t^{2}) t^{\frac{- 1}{2}} d t$

Bước 5.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int (1 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}} d t$

Bước 6

Khai triển $(1 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (1 + t) t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 1 t^{- \frac{1}{2}} + t \cdot t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Bước 6.3

Nhân $t^{- \frac{1}{2}}$ với $1$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t \cdot t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Bước 6.4

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{1} t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Bước 6.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{1 - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Bước 6.6

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Bước 6.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2 - 1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Bước 6.8

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Bước 6.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 - \frac{1}{2}} d t$

Bước 6.10

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

Bước 6.11

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

Bước 6.12

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} d t$

Bước 6.13

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.13.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{4 - 1}{2}} d t$

Bước 6.13.2

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{3}{2}} d t$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t^{- \frac{1}{2}}$ đối với $t$ là $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t^{\frac{1}{2}}$ đối với $t$ là $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t^{\frac{3}{2}}$ đối với $t$ là $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 11

Rút gọn.

$2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 12

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $g (t) = \frac{1 + t + t^{2}}{\sqrt{t}}$ .

$G (t) =$ $2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$