Giải tích Ví dụ

$\frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}}$

Bước 1

Viết $\frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}} d x$

Bước 4

Vì $10$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $10$ ra khỏi tích phân.

$10 \int \frac{1}{{(3 - 5 x)}^{2}} d x$

Bước 5

Giả sử $u = 3 - 5 x$ . Sau đó $d u = - 5 d x$ , nên $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 3 - 5 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $3 - 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

Bước 5.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 - 5 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Bước 5.1.2.2

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Bước 5.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 x$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Bước 5.1.3.3

Nhân $- 5$ với $1$ .

$0 - 5$

Bước 5.1.4

Trừ $5$ khỏi $0$ .

$- 5$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$10 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 5} d u$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$10 \int \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{5}) d u$

Bước 6.2

Nhân $\frac{1}{u^{2}}$ với $\frac{1}{5}$ .

$10 \int - \frac{1}{u^{2} \cdot 5} d u$

Bước 6.3

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $u^{2}$ .

$10 \int - \frac{1}{5 u^{2}} d u$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$10 (- \int \frac{1}{5 u^{2}} d u)$

Bước 8

Nhân $- 1$ với $10$ .

$- 10 \int \frac{1}{5 u^{2}} d u$

Bước 9

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$- 10 (\frac{1}{5} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Bước 10

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $- 10$ .

$\frac{- 10}{5} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Bước 10.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 10$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $- 10$ .

$\frac{5 \cdot - 2}{5} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Bước 10.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.2.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$\frac{5 \cdot - 2}{5 (1)} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Bước 10.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 \cdot - 2}{5 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Bước 10.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Bước 10.1.2.2.4

Chia $- 2$ cho $1$ .

$- 2 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Bước 10.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Di chuyển $u^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- 2 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Bước 10.2.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Bước 10.2.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 \int u^{- 2} d u$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 2}$ đối với $u$ là $- u^{- 1}$ .

$- 2 (- u^{- 1} + C)$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Viết lại $- 2 (- u^{- 1} + C)$ ở dạng $- 2 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$- 2 (- \frac{1}{u}) + C$

Bước 12.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$2 \frac{1}{u} + C$

Bước 12.2.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{u}$ .

$\frac{2}{u} + C$

Bước 13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 - 5 x$ .

$\frac{2}{3 - 5 x} + C$

Bước 14

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3 - 5 x} + C$