Giải tích Ví dụ

$f (x) = 2 \sec (x) \tan (x) - 2 x^{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int 2 \sec (x) \tan (x) - 2 x^{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 2 \sec (x) \tan (x) d x + \int - 2 x^{3} d x + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Bước 4

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \sec (x) \tan (x) d x + \int - 2 x^{3} d x + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Bước 5

Vì đạo hàm của $\sec (x)$ là $\sec (x) \tan (x)$ , tích phân của $\sec (x) \tan (x)$ là $\sec (x)$ .

$2 (\sec (x) + C) + \int - 2 x^{3} d x + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Bước 6

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$2 (\sec (x) + C) - 2 \int x^{3} d x + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\sec (x) + C) - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Bước 8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{3}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$2 (\sec (x) + C) - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$2 (\sec (x) + C) - 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Bước 8.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\sec (x) + C) - 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Bước 8.2.2.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 1$ .

$2 (\sec (x) + C) - 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Bước 8.2.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 (\sec (x) + C) - 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{1}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$2 (\sec (x) + C) - 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Bước 10

Rút gọn.

$2 \sec (x) - \frac{x^{4}}{2} + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Bước 11

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 \sec (x) - \frac{1}{2} x^{4} + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Bước 12

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 \sec (x) \tan (x) - 2 x^{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$F (x) =$ $2 \sec (x) - \frac{1}{2} x^{4} + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$