Giải tích Ví dụ

$f (x) = 3 x^{- 4} - 2 x^{- 3} + x^{- 2} + 4$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int 3 x^{- 4} - 2 x^{- 3} + x^{- 2} + 4 d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 3 x^{- 4} d x + \int - 2 x^{- 3} d x + \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Bước 4

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int x^{- 4} d x + \int - 2 x^{- 3} d x + \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 4}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int - 2 x^{- 3} d x + \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $x^{- 3}$ và $\frac{1}{3}$ .

$3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int - 2 x^{- 3} d x + \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Bước 6.2

Di chuyển $x^{- 3}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int - 2 x^{- 3} d x + \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Bước 7

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 \int x^{- 3} d x + \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 3}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $x^{- 2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Bước 9.2

Di chuyển $x^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - x^{- 1} + C + \int 4 d x$

Bước 11

Áp dụng quy tắc hằng số.

$3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - x^{- 1} + C + 4 x + C$

Bước 12

Rút gọn.

$- \frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x} + 4 x + C$

Bước 13

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 3 x^{- 4} - 2 x^{- 3} + x^{- 2} + 4$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x} + 4 x + C$