Giải tích Ví dụ

$f (x) = {(2 x - 1)}^{2}$

Bước 1

Xét công thức tỉ sai phân.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Bước 2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính hàm số tại $x = x + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $x + h$ trong biểu thức.

$f (x + h) = {(2 (x + h) - 1)}^{2}$

Bước 2.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = {(2 x + 2 h - 1)}^{2}$

Bước 2.1.2.1.2

Viết lại ${(2 x + 2 h - 1)}^{2}$ ở dạng $(2 x + 2 h - 1) (2 x + 2 h - 1)$ .

$f (x + h) = (2 x + 2 h - 1) (2 x + 2 h - 1)$

Bước 2.1.2.2

Khai triển $(2 x + 2 h - 1) (2 x + 2 h - 1)$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$f (x + h) = 2 x (2 x) + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Bước 2.1.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.3.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f (x + h) = 2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Bước 2.1.2.3.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.3.2.1

Di chuyển $x$ .

$f (x + h) = 2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Bước 2.1.2.3.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$f (x + h) = 2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Bước 2.1.2.3.3

Nhân $2$ với $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Bước 2.1.2.3.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f (x + h) = 4 x^{2} + 2 \cdot (2 x h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Bước 2.1.2.3.5

Nhân $2$ với $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Bước 2.1.2.3.6

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Bước 2.1.2.3.7

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 2 \cdot (2 h x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Bước 2.1.2.3.8

Nhân $2$ với $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Bước 2.1.2.3.9

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 2 \cdot (2 h \cdot h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Bước 2.1.2.3.10

Nhân $h$ với $h$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.3.10.1

Di chuyển $h$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 2 \cdot (2 (h \cdot h)) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Bước 2.1.2.3.10.2

Nhân $h$ với $h$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 2 \cdot (2 h^{2}) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Bước 2.1.2.3.11

Nhân $2$ với $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Bước 2.1.2.3.12

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} - 2 h - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Bước 2.1.2.3.13

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Bước 2.1.2.3.14

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h - 1 \cdot - 1$

Bước 2.1.2.3.15

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 1$

Bước 2.1.2.4

Cộng $4 x h$ và $4 h x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.4.1

Di chuyển $x$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 h x + 4 h x - 2 x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 1$

Bước 2.1.2.4.2

Cộng $4 h x$ và $4 h x$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x - 2 x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 1$

Bước 2.1.2.5

Trừ $2 x$ khỏi $- 2 x$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 2 h - 4 x - 2 h + 1$

Bước 2.1.2.6

Trừ $2 h$ khỏi $- 2 h$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 4 h - 4 x + 1$

Bước 2.1.2.7

Câu trả lời cuối cùng là $4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 4 h - 4 x + 1$ .

$4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 4 h - 4 x + 1$

Bước 2.2

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Di chuyển $4 x^{2}$ .

$8 h x + 4 h^{2} + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1$

Bước 2.2.2

Sắp xếp lại $8 h x$ và $4 h^{2}$ .

$4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1$

Bước 2.3

Tìm của thành phần của định nghĩa.

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1$

$f (x) = 4 x^{2} - 4 x + 1$

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1$

$f (x) = 4 x^{2} - 4 x + 1$

Bước 3

Điền vào các thành phần.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - (4 x^{2} - 4 x + 1)}{h}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot 1}{h}$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - 4 x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 1}{h}$

Bước 4.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - 4 x^{2} + 4 x - 1 \cdot 1}{h}$

Bước 4.1.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - 4 x^{2} + 4 x - 1}{h}$

Bước 4.1.3

Trừ $4 x^{2}$ khỏi $4 x^{2}$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h - 4 x + 1 + 0 + 4 x - 1}{h}$

Bước 4.1.4

Cộng $4 h^{2}$ và $0$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h - 4 x + 1 + 4 x - 1}{h}$

Bước 4.1.5

Cộng $- 4 x$ và $4 x$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h + 0 + 1 - 1}{h}$

Bước 4.1.6

Cộng $4 h^{2}$ và $0$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h + 1 - 1}{h}$

Bước 4.1.7

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h + 0}{h}$

Bước 4.1.8

Cộng $4 h^{2} + 8 h x - 4 h$ và $0$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h}{h}$

Bước 4.1.9

Đưa $4 h$ ra ngoài $4 h^{2} + 8 h x - 4 h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.9.1

Đưa $4 h$ ra ngoài $4 h^{2}$ .

$\frac{4 h \cdot h + 8 h x - 4 h}{h}$

Bước 4.1.9.2

Đưa $4 h$ ra ngoài $8 h x$ .

$\frac{4 h \cdot h + 4 h (2 x) - 4 h}{h}$

Bước 4.1.9.3

Đưa $4 h$ ra ngoài $- 4 h$ .

$\frac{4 h \cdot h + 4 h (2 x) + 4 h \cdot - 1}{h}$

Bước 4.1.9.4

Đưa $4 h$ ra ngoài $4 h \cdot h + 4 h (2 x)$ .

$\frac{4 h (h + 2 x) + 4 h \cdot - 1}{h}$

Bước 4.1.9.5

Đưa $4 h$ ra ngoài $4 h (h + 2 x) + 4 h \cdot - 1$ .

$\frac{4 h (h + 2 x - 1)}{h}$

Bước 4.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 h (h + 2 x - 1)}{h}$

Bước 4.2.1.2

Chia $4 (h + 2 x - 1)$ cho $1$ .

$4 (h + 2 x - 1)$

Bước 4.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 h + 4 (2 x) + 4 \cdot - 1$

Bước 4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $2$ với $4$ .

$4 h + 8 x + 4 \cdot - 1$

Bước 4.3.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$4 h + 8 x - 4$

Bước 4.4

Sắp xếp lại $4 h$ và $8 x$ .

$8 x + 4 h - 4$

Bước 5