Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 9}$ , $x = 4$

Bước 1

Tốc độ biến thiên đối với hàm số là giá trị của đạo hàm (tốc độ biến thiên) tại $4$ trên giá trị của hàm số tại $4$ .

$\frac{f' (4)}{f (4)}$

Bước 2

Thay các hàm số vào công thức để tìm hàm số cho tốc độ biến thiên.

$\frac{\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x^{2} + 9}}$

Bước 3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9}}$

Bước 4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp.

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x \cdot 1}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{2} + 9}}$

Bước 4.2

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{2} + 9}}$

Bước 5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} + 9}$ ở dạng ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Bước 5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Bước 5.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{x^{2} + 9}$

Bước 6

Tính công thức tại $x = 4$ .

$\frac{4}{{({(4)}^{2} + 9)}^{1}}$

Bước 7

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{4}{{(16 + 9)}^{1}}$

Bước 7.2

Cộng $16$ và $9$ .

$\frac{4}{25^{1}}$

Bước 7.3

Tính số mũ.

$\frac{4}{25}$

Bước 8

Quy đổi $\frac{4}{25}$ thành một số thập phân.

$0.16$

Bước 9

Quy đổi $0.16$ thành một tỉ lệ phần trăm.

$16$ %