Giải tích Ví dụ

$lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} \sin (\frac{1}{x + h}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} \sin (\frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} \sin (\frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Bước 3

Đưa số mũ $2$ từ ${(x + h)}^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

${(lim_{h \to 0} x + h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} \sin (\frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Bước 4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

${(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} \sin (\frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Bước 5

Tính giới hạn của $x$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} \sin (\frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Bước 6

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (\frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Bước 8

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{lim_{h \to 0} x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Bước 9

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Bước 10

Tính giới hạn của $x$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + lim_{h \to 0} h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Bước 11

Tính giới hạn của $x^{2} \sin (\frac{1}{x})$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + lim_{h \to 0} h}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Bước 12

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

${(x + 0)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + lim_{h \to 0} h}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Bước 12.2

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

${(x + 0)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + 0}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Bước 13

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong ${(x + 0)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + 0}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Cộng $x$ và $0$ .

$x^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + 0}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Bước 13.1.2

Cộng $x$ và $0$ .

$x^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Bước 13.2

Trừ $x^{2} \sin (\frac{1}{x})$ khỏi $x^{2} \sin (\frac{1}{x})$ .

$0$