Giải tích Ví dụ

$lim_{k \to 8} {(1 - \frac{1}{k})}^{k}$

Bước 1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$lim_{k \to 8} {(\frac{k}{k} - \frac{1}{k})}^{k}$

Bước 1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{k \to 8} {(\frac{k - 1}{k})}^{k}$

Bước 2

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại ${(\frac{k - 1}{k})}^{k}$ ở dạng $e^{\ln ({(\frac{k - 1}{k})}^{k})}$ .

$lim_{k \to 8} e^{\ln ({(\frac{k - 1}{k})}^{k})}$

Bước 2.2

Khai triển $\ln ({(\frac{k - 1}{k})}^{k})$ bằng cách di chuyển $k$ ra bên ngoài lôgarit.

$lim_{k \to 8} e^{k \ln (\frac{k - 1}{k})}$

Bước 3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$e^{lim_{k \to 8} k \ln (\frac{k - 1}{k})}$

Bước 3.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $k$ tiến dần đến $8$ .

$e^{lim_{k \to 8} k \cdot lim_{k \to 8} \ln (\frac{k - 1}{k})}$

Bước 3.3

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} \frac{k - 1}{k})}$

Bước 3.4

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $k$ tiến dần đến $8$ .

$e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (\frac{lim_{k \to 8} k - 1}{lim_{k \to 8} k})}$

Bước 3.5

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $k$ tiến dần đến $8$ .

$e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (\frac{lim_{k \to 8} k - lim_{k \to 8} 1}{lim_{k \to 8} k})}$

Bước 3.6

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $k$ tiến dần đến $8$ .

$e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (\frac{lim_{k \to 8} k - 1 \cdot 1}{lim_{k \to 8} k})}$

Bước 4

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $k$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giới hạn của $k$ bằng cách điền vào $8$ cho $k$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{k \to 8} k - 1 \cdot 1}{lim_{k \to 8} k})}$

Bước 4.2

Tính giới hạn của $k$ bằng cách điền vào $8$ cho $k$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 1}{lim_{k \to 8} k})}$

Bước 4.3

Tính giới hạn của $k$ bằng cách điền vào $8$ cho $k$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 1}{8})}$

Bước 5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn $8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 1}{8})$ bằng cách di chuyển $8$ trong logarit.

$e^{\ln ({(\frac{8 - 1 \cdot 1}{8})}^{8})}$

Bước 5.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

${(\frac{8 - 1 \cdot 1}{8})}^{8}$

Bước 5.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

${(\frac{8 - 1}{8})}^{8}$

Bước 5.3.2

Trừ $1$ khỏi $8$ .

${(\frac{7}{8})}^{8}$

Bước 5.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{7}{8}$ .

$\frac{7^{8}}{8^{8}}$

Bước 5.5

Nâng $7$ lên lũy thừa $8$ .

$\frac{5764801}{8^{8}}$

Bước 5.6

Nâng $8$ lên lũy thừa $8$ .

$\frac{5764801}{16777216}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{5764801}{16777216}$

Dạng thập phân:

$0.34360891 \dots$