Giải tích Ví dụ

$lim_{n \to 8} \frac{n}{n^{3} + 6 n^{2} - 12 n - 8 i}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} n^{3} + 6 n^{2} - 12 n - 8 i}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} n^{3} + lim_{n \to 8} 6 n^{2} - lim_{n \to 8} 12 n - lim_{n \to 8} 8 i}$

Bước 3

Đưa số mũ $3$ từ $n^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n)}^{3} + lim_{n \to 8} 6 n^{2} - lim_{n \to 8} 12 n - lim_{n \to 8} 8 i}$

Bước 4

Chuyển số hạng $6$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $n$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n)}^{3} + 6 lim_{n \to 8} n^{2} - lim_{n \to 8} 12 n - lim_{n \to 8} 8 i}$

Bước 5

Đưa số mũ $2$ từ $n^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n)}^{3} + 6 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - lim_{n \to 8} 12 n - lim_{n \to 8} 8 i}$

Bước 6

Chuyển số hạng $12$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $n$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n)}^{3} + 6 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 12 lim_{n \to 8} n - lim_{n \to 8} 8 i}$

Bước 7

Tính giới hạn của $8 i$ mà không đổi khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n)}^{3} + 6 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 12 lim_{n \to 8} n - 8 i}$

Bước 8

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính giới hạn của $n$ bằng cách điền vào $8$ cho $n$ .

$\frac{8}{{(lim_{n \to 8} n)}^{3} + 6 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 12 lim_{n \to 8} n - 8 i}$

Bước 8.2

Tính giới hạn của $n$ bằng cách điền vào $8$ cho $n$ .

$\frac{8}{8^{3} + 6 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 12 lim_{n \to 8} n - 8 i}$

Bước 8.3

Tính giới hạn của $n$ bằng cách điền vào $8$ cho $n$ .

$\frac{8}{8^{3} + 6 \cdot 8^{2} - 12 lim_{n \to 8} n - 8 i}$

Bước 8.4

Tính giới hạn của $n$ bằng cách điền vào $8$ cho $n$ .

$\frac{8}{8^{3} + 6 \cdot 8^{2} - 12 \cdot 8 - 8 i}$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $8^{3} + 6 \cdot 8^{2} - 12 \cdot 8 - 8 i$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Đưa $8$ ra ngoài $8$ .

$\frac{8 (1)}{8^{3} + 6 \cdot 8^{2} - 12 \cdot 8 - 8 i}$

Bước 9.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Đưa $8$ ra ngoài $8^{3}$ .

$\frac{8 (1)}{8 \cdot 8^{2} + 6 \cdot 8^{2} - 12 \cdot 8 - 8 i}$

Bước 9.1.2.2

Đưa $8$ ra ngoài $6 \cdot 8^{2}$ .

$\frac{8 (1)}{8 \cdot 8^{2} + 8 (6 \cdot 8) - 12 \cdot 8 - 8 i}$

Bước 9.1.2.3

Đưa $8$ ra ngoài $8 \cdot 8^{2} + 8 (6 \cdot 8)$ .

$\frac{8 (1)}{8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8) - 12 \cdot 8 - 8 i}$

Bước 9.1.2.4

Đưa $8$ ra ngoài $- 12 \cdot 8$ .

$\frac{8 (1)}{8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8) + 8 \cdot - 12 - 8 i}$

Bước 9.1.2.5

Đưa $8$ ra ngoài $8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8) + 8 \cdot - 12$ .

$\frac{8 (1)}{8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8 - 12) - 8 i}$

Bước 9.1.2.6

Đưa $8$ ra ngoài $- 8 i$ .

$\frac{8 (1)}{8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8 - 12) + 8 (- i)}$

Bước 9.1.2.7

Đưa $8$ ra ngoài $8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8 - 12) + 8 (- i)$ .

$\frac{8 (1)}{8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8 - 12 - i)}$

Bước 9.1.2.8

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8 - 12 - i)}$

Bước 9.1.2.9

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{8^{2} + 6 \cdot 8 - 12 - i}$

Bước 9.2

Nhân tử số và mẫu số của $\frac{1}{100 - i}$ với liên hợp của $100 - i$ để biến mẫu số thành số thực.

$\frac{1}{100 - i} \cdot \frac{100 + i}{100 + i}$

Bước 9.3

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Kết hợp.

$\frac{1 (100 + i)}{(100 - i) (100 + i)}$

Bước 9.3.2

Nhân $100 + i$ với $1$ .

$\frac{100 + i}{(100 - i) (100 + i)}$

Bước 9.3.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.1

Khai triển $(100 - i) (100 + i)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{100 + i}{100 (100 + i) - i (100 + i)}$

Bước 9.3.3.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{100 + i}{100 \cdot 100 + 100 i - i (100 + i)}$

Bước 9.3.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{100 + i}{100 \cdot 100 + 100 i - i \cdot 100 - i i}$

Bước 9.3.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.2.1

Nhân $100$ với $100$ .

$\frac{100 + i}{10000 + 100 i - i \cdot 100 - i i}$

Bước 9.3.3.2.2

Nhân $100$ với $- 1$ .

$\frac{100 + i}{10000 + 100 i - 100 i - i i}$

Bước 9.3.3.2.3

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{100 + i}{10000 + 100 i - 100 i - (i^{1} i)}$

Bước 9.3.3.2.4

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{100 + i}{10000 + 100 i - 100 i - (i^{1} i^{1})}$

Bước 9.3.3.2.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{100 + i}{10000 + 100 i - 100 i - i^{1 + 1}}$

Bước 9.3.3.2.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{100 + i}{10000 + 100 i - 100 i - i^{2}}$

Bước 9.3.3.2.7

Trừ $100 i$ khỏi $100 i$ .

$\frac{100 + i}{10000 + 0 - i^{2}}$

Bước 9.3.3.2.8

Cộng $10000$ và $0$ .

$\frac{100 + i}{10000 - i^{2}}$

Bước 9.3.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.3.1

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$\frac{100 + i}{10000 - - 1}$

Bước 9.3.3.3.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{100 + i}{10000 + 1}$

Bước 9.3.3.4

Cộng $10000$ và $1$ .

$\frac{100 + i}{10001}$

Bước 9.4

Tách phân số $\frac{100 + i}{10001}$ thành hai phân số.

$\frac{100}{10001} + \frac{i}{10001}$