Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \frac{π}{2}} (\cos (π \sin (x))) + \sin (π \cos (x))$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (π \sin (x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π \cos (x))$

Bước 2

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} π \sin (x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π \cos (x))$

Bước 3

Chuyển số hạng $π$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\cos (π lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π \cos (x))$

Bước 4

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\cos (π \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π \cos (x))$

Bước 5

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\cos (π \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} π \cos (x))$

Bước 6

Chuyển số hạng $π$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\cos (π \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + \sin (π lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x))$

Bước 7

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\cos (π \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + \sin (π \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x))$

Bước 8

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $\frac{π}{2}$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{2}$ cho $x$ .

$\cos (π \sin (\frac{π}{2})) + \sin (π \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x))$

Bước 8.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{2}$ cho $x$ .

$\cos (π \sin (\frac{π}{2})) + \sin (π \cos (\frac{π}{2}))$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$\cos (π \cdot 1) + \sin (π \cos (\frac{π}{2}))$

Bước 9.1.2

Nhân $π$ với $1$ .

$\cos (π) + \sin (π \cos (\frac{π}{2}))$

Bước 9.1.3

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$- \cos (0) + \sin (π \cos (\frac{π}{2}))$

Bước 9.1.4

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$- 1 \cdot 1 + \sin (π \cos (\frac{π}{2}))$

Bước 9.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1 + \sin (π \cos (\frac{π}{2}))$

Bước 9.1.6

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$- 1 + \sin (π \cdot 0)$

Bước 9.1.7

Nhân $π$ với $0$ .

$- 1 + \sin (0)$

Bước 9.1.8

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$- 1 + 0$

Bước 9.2

Cộng $- 1$ và $0$ .

$- 1$