Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \frac{x}{4}} \frac{\sin (x + \frac{π}{4}) - 1}{x - \frac{π}{4}}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{x}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{x}{4}} \sin (x + \frac{π}{4}) - 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{x}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{x}{4}} \sin (x + \frac{π}{4}) - lim_{x \to \frac{x}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Bước 3

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{x}{4}} x + \frac{π}{4}) - lim_{x \to \frac{x}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Bước 4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{x}{4}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{x}{4}} x + lim_{x \to \frac{x}{4}} \frac{π}{4}) - lim_{x \to \frac{x}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Bước 5

Tính giới hạn của $\frac{π}{4}$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\frac{x}{4}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{x}{4}} x + \frac{π}{4}) - lim_{x \to \frac{x}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Bước 6

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\frac{x}{4}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{x}{4}} x + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{x}{4}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{x}{4}} x + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - lim_{x \to \frac{x}{4}} \frac{π}{4}}$

Bước 8

Tính giới hạn của $\frac{π}{4}$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\frac{x}{4}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{x}{4}} x + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Bước 9

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $\frac{x}{4}$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{x}{4}$ cho $x$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Bước 9.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{x}{4}$ cho $x$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{\frac{x}{4} - \frac{π}{4}}$

Bước 10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Nhân $\frac{\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{\frac{x}{4} - \frac{π}{4}}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} \cdot \frac{\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{\frac{x}{4} - \frac{π}{4}}$

Bước 10.1.2

Kết hợp.

$\frac{4 (\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1)}{4 (\frac{x}{4} - \frac{π}{4})}$

Bước 10.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{4 \frac{x}{4} + 4 (- \frac{π}{4})}$

Bước 10.3

Rút gọn bằng cách triệt tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{4 \frac{x}{4} + 4 (- \frac{π}{4})}$

Bước 10.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{x + 4 (- \frac{π}{4})}$

Bước 10.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{π}{4}$ vào tử số.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{x + 4 \frac{- π}{4}}$

Bước 10.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{x + 4 \frac{- π}{4}}$

Bước 10.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{x - π}$

Bước 10.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4})$ .

$\frac{4 (\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4})) + 4 (- 1 \cdot 1)}{x - π}$

Bước 10.4.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $4 (\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4})) + 4 (- 1 \cdot 1)$ .

$\frac{4 (\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1)}{x - π}$

Bước 10.4.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{4 (\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1)}{x - π}$