Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \frac{x + 2}{\sqrt{16 x^{2} + 1}}$

Bước 1

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 2.2.2

Chia $16$ cho $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x}}{\sqrt{16 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 2.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{16 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 2.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{16 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 2.5

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{16 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 2.6

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{16 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 3

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{16 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 4

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 16 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 4.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 16 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 4.3

Tính giới hạn của $16$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{\sqrt{16 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 5

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{\sqrt{16 + 0}}$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Nhân $2$ với $0$ .

$\frac{1 + 0}{\sqrt{16 + 0}}$

Bước 6.1.2

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 + 0}}$

Bước 6.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Cộng $16$ và $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{16}}$

Bước 6.2.2

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4^{2}}}$

Bước 6.2.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{1}{4}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{4}$

Dạng thập phân:

$0.25$