Giải tích Ví dụ

$lim_{n \to 8} \sqrt[4]{n^{4} - 3 n^{3}} - \sqrt[4]{n^{4} + 5 n^{3} + 1}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$lim_{n \to 8} \sqrt[4]{n^{4} - 3 n^{3}} - lim_{n \to 8} \sqrt[4]{n^{4} + 5 n^{3} + 1}$

Bước 2

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\sqrt[4]{lim_{n \to 8} n^{4} - 3 n^{3}} - lim_{n \to 8} \sqrt[4]{n^{4} + 5 n^{3} + 1}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\sqrt[4]{lim_{n \to 8} n^{4} - lim_{n \to 8} 3 n^{3}} - lim_{n \to 8} \sqrt[4]{n^{4} + 5 n^{3} + 1}$

Bước 4

Đưa số mũ $4$ từ $n^{4}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} - lim_{n \to 8} 3 n^{3}} - lim_{n \to 8} \sqrt[4]{n^{4} + 5 n^{3} + 1}$

Bước 5

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $n$ .

$\sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} - 3 lim_{n \to 8} n^{3}} - lim_{n \to 8} \sqrt[4]{n^{4} + 5 n^{3} + 1}$

Bước 6

Đưa số mũ $3$ từ $n^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} - 3 {(lim_{n \to 8} n)}^{3}} - lim_{n \to 8} \sqrt[4]{n^{4} + 5 n^{3} + 1}$

Bước 7

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} - 3 {(lim_{n \to 8} n)}^{3}} - \sqrt[4]{lim_{n \to 8} n^{4} + 5 n^{3} + 1}$

Bước 8

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} - 3 {(lim_{n \to 8} n)}^{3}} - \sqrt[4]{lim_{n \to 8} n^{4} + lim_{n \to 8} 5 n^{3} + lim_{n \to 8} 1}$

Bước 9

Đưa số mũ $4$ từ $n^{4}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} - 3 {(lim_{n \to 8} n)}^{3}} - \sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} + lim_{n \to 8} 5 n^{3} + lim_{n \to 8} 1}$

Bước 10

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $n$ .

$\sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} - 3 {(lim_{n \to 8} n)}^{3}} - \sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} + 5 lim_{n \to 8} n^{3} + lim_{n \to 8} 1}$

Bước 11

Đưa số mũ $3$ từ $n^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} - 3 {(lim_{n \to 8} n)}^{3}} - \sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} + 5 {(lim_{n \to 8} n)}^{3} + lim_{n \to 8} 1}$

Bước 12

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} - 3 {(lim_{n \to 8} n)}^{3}} - \sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} + 5 {(lim_{n \to 8} n)}^{3} + 1}$

Bước 13

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Tính giới hạn của $n$ bằng cách điền vào $8$ cho $n$ .

$\sqrt[4]{8^{4} - 3 {(lim_{n \to 8} n)}^{3}} - \sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} + 5 {(lim_{n \to 8} n)}^{3} + 1}$

Bước 13.2

Tính giới hạn của $n$ bằng cách điền vào $8$ cho $n$ .

$\sqrt[4]{8^{4} - 3 \cdot 8^{3}} - \sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} + 5 {(lim_{n \to 8} n)}^{3} + 1}$

Bước 13.3

Tính giới hạn của $n$ bằng cách điền vào $8$ cho $n$ .

$\sqrt[4]{8^{4} - 3 \cdot 8^{3}} - \sqrt[4]{8^{4} + 5 {(lim_{n \to 8} n)}^{3} + 1}$

Bước 13.4

Tính giới hạn của $n$ bằng cách điền vào $8$ cho $n$ .

$\sqrt[4]{8^{4} - 3 \cdot 8^{3}} - \sqrt[4]{8^{4} + 5 \cdot 8^{3} + 1}$

Bước 14

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $4$ .

$\sqrt[4]{4096 - 3 \cdot 8^{3}} - \sqrt[4]{8^{4} + 5 \cdot 8^{3} + 1}$

Bước 14.2

Nâng $8$ lên lũy thừa $3$ .

$\sqrt[4]{4096 - 3 \cdot 512} - \sqrt[4]{8^{4} + 5 \cdot 8^{3} + 1}$

Bước 14.3

Nhân $- 3$ với $512$ .

$\sqrt[4]{4096 - 1536} - \sqrt[4]{8^{4} + 5 \cdot 8^{3} + 1}$

Bước 14.4

Trừ $1536$ khỏi $4096$ .

$\sqrt[4]{2560} - \sqrt[4]{8^{4} + 5 \cdot 8^{3} + 1}$

Bước 14.5

Viết lại $2560$ ở dạng $4^{4} \cdot 10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.1

Đưa $256$ ra ngoài $2560$ .

$\sqrt[4]{256 (10)} - \sqrt[4]{8^{4} + 5 \cdot 8^{3} + 1}$

Bước 14.5.2

Viết lại $256$ ở dạng $4^{4}$ .

$\sqrt[4]{4^{4} \cdot 10} - \sqrt[4]{8^{4} + 5 \cdot 8^{3} + 1}$

Bước 14.6

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$4 \sqrt[4]{10} - \sqrt[4]{8^{4} + 5 \cdot 8^{3} + 1}$

Bước 14.7

Nâng $8$ lên lũy thừa $4$ .

$4 \sqrt[4]{10} - \sqrt[4]{4096 + 5 \cdot 8^{3} + 1}$

Bước 14.8

Nâng $8$ lên lũy thừa $3$ .

$4 \sqrt[4]{10} - \sqrt[4]{4096 + 5 \cdot 512 + 1}$

Bước 14.9

Nhân $5$ với $512$ .

$4 \sqrt[4]{10} - \sqrt[4]{4096 + 2560 + 1}$

Bước 14.10

Cộng $4096$ và $2560$ .

$4 \sqrt[4]{10} - \sqrt[4]{6656 + 1}$

Bước 14.11

Cộng $6656$ và $1$ .

$4 \sqrt[4]{10} - \sqrt[4]{6657}$

Bước 15

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$4 \sqrt[4]{10} - \sqrt[4]{6657}$

Dạng thập phân:

$- 1.91962505 \dots$