Giải tích Ví dụ

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x^{2} + 3} - 2}{x^{2} - 1}$

Bước 1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x^{2} + 3} - lim_{x \to 1} 2}{x^{2} - 1}$

Bước 1.2

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x^{2} + 3} - lim_{x \to 1} 2}{x^{2} - 1}$

Bước 1.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 3} - lim_{x \to 1} 2}{x^{2} - 1}$

Bước 1.4

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 3} - lim_{x \to 1} 2}{x^{2} - 1}$

Bước 1.5

Tính giới hạn của $3$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 3} - lim_{x \to 1} 2}{x^{2} - 1}$

Bước 1.6

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 3} - 1 \cdot 2}{x^{2} - 1}$

Bước 2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt{1^{2} + 3} - 1 \cdot 2}{x^{2} - 1}$

Bước 3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{\sqrt{1 + 3} - 1 \cdot 2}{x^{2} - 1}$

Bước 3.1.2

Cộng $1$ và $3$ .

$\frac{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}{x^{2} - 1}$

Bước 3.1.3

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}{x^{2} - 1}$

Bước 3.1.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{x^{2} - 1}$

Bước 3.1.5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{2 - 2}{x^{2} - 1}$

Bước 3.1.6

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$\frac{0}{x^{2} - 1}$

Bước 3.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{0}{x^{2} - 1^{2}}$

Bước 3.2.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1)}$

Bước 3.3

Chia $0$ cho $(x + 1) (x - 1)$ .

$0$