Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} {(1 + \sin (3 x))}^{\cot (5 x)}$

Bước 1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(1 + \sin (3 x))}^{\cot (5 x)}$ ở dạng $e^{\ln ({(1 + \sin (3 x))}^{\cot (5 x)})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 + \sin (3 x))}^{\cot (5 x)})}$

Bước 1.2

Khai triển $\ln ({(1 + \sin (3 x))}^{\cot (5 x)})$ bằng cách di chuyển $\cot (5 x)$ ra bên ngoài lôgarit.

$lim_{x \to 0} e^{\cot (5 x) \ln (1 + \sin (3 x))}$

Bước 2

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$e^{lim_{x \to 0} \cot (5 x) \ln (1 + \sin (3 x))}$

Bước 3

Xét giới hạn trái.

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (5 x) \ln (1 + \sin (3 x))$

Bước 4

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $\cot (5 x) \ln (1 + \sin (3 x))$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái.

$\begin{array}{c} x & \cot (5 x) \ln (1 + \sin (3 x)) \\ - 0.1 & 0.64121185 \\ - 0.01 & 0.6085837 \\ - 0.001 & 0.60089589 \\ - 0.0001 & 0.60008995 \\ - 0.00001 & 0.60000899 \end{array}$

Bước 5

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $0.6$ . Cho nên, giới hạn của $\cot (5 x) \ln (1 + \sin (3 x))$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái là $0.6$ .

$0.6$

Bước 6

Xét giới hạn phải.

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (5 x) \ln (1 + \sin (3 x))$

Bước 7

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $\cot (5 x) \ln (1 + \sin (3 x))$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải.

$\begin{array}{c} x & \cot (5 x) \ln (1 + \sin (3 x)) \\ 0.1 & 0.47393581 \\ 0.01 & 0.59059601 \\ 0.001 & 0.5990959 \\ 0.0001 & 0.59990995 \\ 0.00001 & 0.59999099 \end{array}$

Bước 8

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $0.6$ . Cho nên, giới hạn của $\cot (5 x) \ln (1 + \sin (3 x))$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải là $0.6$ .

$e^{0.6}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$e^{0.6}$

Dạng thập phân:

$1.82211880 \dots$