Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\sin^{2} (8 x)}$

Bước 1

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin^{2} (8 x)}$ sang $\csc^{2} (8 x)$ .

$lim_{x \to 0} x^{2} \csc^{2} (8 x)$

Bước 2

Viết lại $x^{2} \csc^{2} (8 x)$ ở dạng $\frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)}$

Bước 3

Lập giới hạn ở dạng giới hạn trái.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)}$

Bước 4

Tính giới hạn trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Bước 4.1.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.2.1

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Bước 4.1.1.2.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Bước 4.1.1.2.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Bước 4.1.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.3.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc^{2} (8 x)}}$

Bước 4.1.1.3.2

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{\csc^{2} (8 x)}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 4.1.1.3.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 4.1.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 4.1.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

Bước 4.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

Bước 4.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 2}$ và $g (x) = \csc (8 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

Bước 4.1.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 {u_{1}}^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

Bước 4.1.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

Bước 4.1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \csc (x)$ và $g (x) = 8 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $8 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [8 x])}$

Bước 4.1.3.4.2

Đạo hàm của $\csc (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Bước 4.1.3.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $8 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (- \csc (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Bước 4.1.3.5

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (8 x) (\csc (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Bước 4.1.3.6

Nâng $\csc (8 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (8 x) \csc^{- 3} (8 x)) (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Bước 4.1.3.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 {\csc (8 x)}^{1 - 3} (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Bước 4.1.3.8

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (8 x) (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Bước 4.1.3.9

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x])}$

Bước 4.1.3.10

Nhân $8$ với $2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 4.1.3.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) \cdot 1}$

Bước 4.1.3.12

Nhân $16$ với $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x)}$

Bước 4.1.3.13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.13.1

Viết lại $\csc (8 x)$ theo sin và cosin.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 {(\frac{1}{\sin (8 x)})}^{- 2} \cot (8 x)}$

Bước 4.1.3.13.2

Thay đổi dấu của số mũ bằng cách viết lại cơ số ở dạng nghịch đảo của nó.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \sin^{2} (8 x) \cot (8 x)}$

Bước 4.1.3.13.3

Viết lại $\cot (8 x)$ theo sin và cosin.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \sin^{2} (8 x) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

Bước 4.1.3.13.4

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (8 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.13.4.1

Đưa $\sin (8 x)$ ra ngoài $16 \sin^{2} (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (8 x) (16 \sin (8 x)) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

Bước 4.1.3.13.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (8 x) (16 \sin (8 x)) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

Bước 4.1.3.13.4.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

Bước 4.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 (x)}{16 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

Bước 4.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $16 \sin (8 x) \cos (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 (x)}{2 (8 \sin (8 x) \cos (8 x))}$

Bước 4.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 (8 \sin (8 x) \cos (8 x))}$

Bước 4.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{8 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

Bước 4.1.5

Tách các phân số.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{8 \cos (8 x)} \cdot \frac{1}{\sin (8 x)}$

Bước 4.1.6

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (8 x)}$ sang $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{8 \cos (8 x)} \csc (8 x)$

Bước 4.1.7

Tách các phân số.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{8} \cdot \frac{1}{\cos (8 x)} \csc (8 x)$

Bước 4.1.8

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (8 x)}$ sang $\sec (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{8} \sec (8 x) \csc (8 x)$

Bước 4.1.9

Kết hợp $\frac{x}{8}$ và $\sec (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x \sec (8 x)}{8} \csc (8 x)$

Bước 4.1.10

Kết hợp $\frac{x \sec (8 x)}{8}$ và $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x \sec (8 x) \csc (8 x)}{8}$

Bước 4.2

Chuyển số hạng $\frac{1}{8}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0^{-}} x \sec (8 x) \csc (8 x)$

Bước 4.3

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $x \sec (8 x) \csc (8 x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái.

$\begin{array}{c} x & x \sec (8 x) \csc (8 x) \\ - 0.1 & 0.20008531 \\ - 0.01 & 0.12553493 \\ - 0.001 & 0.12500533 \\ - 0.0001 & 0.12500005 \end{array}$

Bước 4.4

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $0.125$ . Cho nên, giới hạn của $x \sec (8 x) \csc (8 x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái là $0.125$ .

$\frac{1}{8} \cdot 0.125$

Bước 4.5

Triệt tiêu thừa số chung $0.125$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Đưa $0.125$ ra ngoài $8$ .

$\frac{1}{0.125 (64)} \cdot 0.125$

Bước 4.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{0.125 \cdot 64} \cdot 0.125$

Bước 4.5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{64}$

Bước 5

Lập giới hạn ở dạng giới hạn phải.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)}$

Bước 6

Tính giới hạn phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Bước 6.1.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.1

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Bước 6.1.1.2.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Bước 6.1.1.2.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Bước 6.1.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (8 x)}}$

Bước 6.1.1.3.2

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{\csc^{2} (8 x)}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 6.1.1.3.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 6.1.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 6.1.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

Bước 6.1.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

Bước 6.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

Bước 6.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 2}$ và $g (x) = \csc (8 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

Bước 6.1.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 {u_{1}}^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

Bước 6.1.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

Bước 6.1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \csc (x)$ và $g (x) = 8 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $8 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [8 x])}$

Bước 6.1.3.4.2

Đạo hàm của $\csc (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Bước 6.1.3.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $8 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (- \csc (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Bước 6.1.3.5

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (8 x) (\csc (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Bước 6.1.3.6

Nâng $\csc (8 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (8 x) \csc^{- 3} (8 x)) (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Bước 6.1.3.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 {\csc (8 x)}^{1 - 3} (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Bước 6.1.3.8

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (8 x) (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Bước 6.1.3.9

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x])}$

Bước 6.1.3.10

Nhân $8$ với $2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 6.1.3.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) \cdot 1}$

Bước 6.1.3.12

Nhân $16$ với $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x)}$

Bước 6.1.3.13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.13.1

Viết lại $\csc (8 x)$ theo sin và cosin.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 {(\frac{1}{\sin (8 x)})}^{- 2} \cot (8 x)}$

Bước 6.1.3.13.2

Thay đổi dấu của số mũ bằng cách viết lại cơ số ở dạng nghịch đảo của nó.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \sin^{2} (8 x) \cot (8 x)}$

Bước 6.1.3.13.3

Viết lại $\cot (8 x)$ theo sin và cosin.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \sin^{2} (8 x) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

Bước 6.1.3.13.4

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (8 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.13.4.1

Đưa $\sin (8 x)$ ra ngoài $16 \sin^{2} (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (8 x) (16 \sin (8 x)) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

Bước 6.1.3.13.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (8 x) (16 \sin (8 x)) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

Bước 6.1.3.13.4.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

Bước 6.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{16 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

Bước 6.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $16 \sin (8 x) \cos (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (8 \sin (8 x) \cos (8 x))}$

Bước 6.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (8 \sin (8 x) \cos (8 x))}$

Bước 6.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{8 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

Bước 6.1.5

Tách các phân số.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{8 \cos (8 x)} \cdot \frac{1}{\sin (8 x)}$

Bước 6.1.6

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (8 x)}$ sang $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{8 \cos (8 x)} \csc (8 x)$

Bước 6.1.7

Tách các phân số.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{8} \cdot \frac{1}{\cos (8 x)} \csc (8 x)$

Bước 6.1.8

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (8 x)}$ sang $\sec (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{8} \sec (8 x) \csc (8 x)$

Bước 6.1.9

Kết hợp $\frac{x}{8}$ và $\sec (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \sec (8 x)}{8} \csc (8 x)$

Bước 6.1.10

Kết hợp $\frac{x \sec (8 x)}{8}$ và $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \sec (8 x) \csc (8 x)}{8}$

Bước 6.2

Chuyển số hạng $\frac{1}{8}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0^{+}} x \sec (8 x) \csc (8 x)$

Bước 6.3

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $x \sec (8 x) \csc (8 x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải.

$\begin{array}{c} x & x \sec (8 x) \csc (8 x) \\ 0.1 & 0.20008531 \\ 0.01 & 0.12553493 \\ 0.001 & 0.12500533 \\ 0.0001 & 0.12500005 \end{array}$

Bước 6.4

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $0.125$ . Cho nên, giới hạn của $x \sec (8 x) \csc (8 x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải là $0.125$ .

$\frac{1}{8} \cdot 0.125$

Bước 6.5

Triệt tiêu thừa số chung $0.125$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Đưa $0.125$ ra ngoài $8$ .

$\frac{1}{0.125 (64)} \cdot 0.125$

Bước 6.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{0.125 \cdot 64} \cdot 0.125$

Bước 6.5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{64}$

Bước 7

Vì giới hạn trái bằng giới hạn phải, nên giới hạn bằng $\frac{1}{64}$ .

$\frac{1}{64}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{64}$

Dạng thập phân:

$0.015625$