Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{1 + (x - 1) \cos (x)}{4 x}$

Bước 1

Chuyển số hạng $\frac{1}{4}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1 + (x - 1) \cos (x)}{x}$

Bước 2

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 + (x - 1) \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Bước 2.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} (x - 1) \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Bước 2.1.2.2

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + lim_{x \to 0} (x - 1) \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Bước 2.1.2.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + lim_{x \to 0} x - 1 \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Bước 2.1.2.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + (lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Bước 2.1.2.5

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Bước 2.1.2.6

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Bước 2.1.2.7

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.7.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + (0 - 1 \cdot 1) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Bước 2.1.2.7.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + (0 - 1 \cdot 1) \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Bước 2.1.2.8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.8.1.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + (0 - 1) \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Bước 2.1.2.8.1.2

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - 1 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Bước 2.1.2.8.1.3

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Bước 2.1.2.8.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Bước 2.1.2.8.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Bước 2.1.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Bước 2.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Bước 2.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0} \frac{1 + (x - 1) \cos (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 + (x - 1) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 + (x - 1) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + (x - 1) \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [(x - 1) \cos (x)]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [(x - 1) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [(x - 1) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.4

Tính $\frac{d}{d x} [(x - 1) \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x - 1$ và $g (x) = \cos (x)$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.4.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.4.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.4.5

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.4.6

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.4.7

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + x \cdot - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + x \cdot - 1 \sin (x) + 1 \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.5.2.2

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + x \cdot - 1 \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.5.2.3

Cộng $0$ và $x (- \sin (x)) + \sin (x) + \cos (x)$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)}{1}$

Bước 2.4

Chia $- x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)$ cho $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} - x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)$

Bước 3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{4} (- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Bước 3.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{4} (- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Bước 3.3

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{1}{4} (- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Bước 3.4

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{1}{4} (- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Bước 3.5

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{1}{4} (- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Bước 4

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{4} (0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Bước 4.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{4} (0 \cdot \sin (0) + \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Bước 4.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{4} (0 \cdot \sin (0) + \sin (0) + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Bước 4.4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{4} (0 \cdot \sin (0) + \sin (0) + \cos (0))$

Bước 5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{1}{4} (0 \cdot 0 + \sin (0) + \cos (0))$

Bước 5.1.2

Nhân $0$ với $0$ .

$\frac{1}{4} (0 + \sin (0) + \cos (0))$

Bước 5.1.3

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{1}{4} (0 + 0 + \cos (0))$

Bước 5.1.4

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{1}{4} (0 + 0 + 1)$

Bước 5.2

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{1}{4} (0 + 1)$

Bước 5.3

Cộng $0$ và $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Bước 5.4

Nhân $\frac{1}{4}$ với $1$ .

$\frac{1}{4}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{4}$

Dạng thập phân:

$0.25$