Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{3 x} + \frac{2 x}{3 \sin (x)}$

Bước 1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{3 x} + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 \sin (x)}$

Bước 1.2

Chuyển số hạng $\frac{1}{3}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 \sin (x)}$

Bước 2

Vì $\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ và $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ , sử dụng định lý kẹp.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 \sin (x)}$

Bước 3

Chuyển số hạng $\frac{2}{3}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)}$

Bước 4

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Bước 4.1.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Bước 4.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Bước 4.1.3.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Bước 4.1.3.3

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Bước 4.1.3.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Bước 4.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Bước 4.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Bước 4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Bước 4.3.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (x)}$

Bước 5

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Bước 5.2

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Bước 5.3

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Bước 6

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Bước 7.1.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (0)}$ sang $\sec (0)$ .

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \sec (0)$

Bước 7.1.3

Giá trị chính xác của $\sec (0)$ là $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1$

Bước 7.1.4

Nhân $\frac{2}{3}$ với $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3}$

Bước 7.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 + 2}{3}$

Bước 7.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{3}{3}$

Bước 7.4

Chia $3$ cho $3$ .

$1$