Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{x \csc (2 x)}{\cos (5 x)}$

Bước 1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Bước 1.2

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{\cos (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Bước 1.3

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Bước 2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Bước 3

Xét giới hạn trái.

$lim_{x \to 0^{-}} x \csc (2 x)$

Bước 4

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $x \csc (2 x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái.

$\begin{array}{c} x & x \csc (2 x) \\ - 0.1 & 0.50334895 \\ - 0.01 & 0.50003333 \\ - 0.001 & 0.50000033 \end{array}$

Bước 5

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $0.5$ . Cho nên, giới hạn của $x \csc (2 x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái là $0.5$ .

$0.5$

Bước 6

Xét giới hạn phải.

$lim_{x \to 0^{+}} x \csc (2 x)$

Bước 7

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $x \csc (2 x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải.

$\begin{array}{c} x & x \csc (2 x) \\ 0.1 & 0.50334895 \\ 0.01 & 0.50003333 \\ 0.001 & 0.50000033 \end{array}$

Bước 8

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $0.5$ . Cho nên, giới hạn của $x \csc (2 x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải là $0.5$ .

$\frac{0.5}{\cos (5 \cdot 0)}$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tách các phân số.

$\frac{0.5}{1} \cdot \frac{1}{\cos (5 \cdot 0)}$

Bước 9.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (5 \cdot 0)}$ sang $\sec (5 \cdot 0)$ .

$\frac{0.5}{1} \sec (5 \cdot 0)$

Bước 9.3

Nhân $5$ với $0$ .

$\frac{0.5}{1} \sec (0)$

Bước 9.4

Triệt tiêu thừa số chung $0.5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{0.5}{1} \sec (0)$

Bước 9.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sec (0)}{2}$

Bước 9.5

Giá trị chính xác của $\sec (0)$ là $1$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{2}$

Dạng thập phân:

$0.5$