Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Bước 1

Lập giới hạn ở dạng giới hạn trái.

$lim_{x \to 0^{-}} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Bước 2

Tính các giới hạn bằng cách điền vào giá trị cho biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính giới hạn của $1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\cot (0)}$

Bước 2.2

Viết lại $\cot (0)$ theo sin và cosin.

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{\sin (0)}}$

Bước 2.3

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{0}}$

Bước 2.4

Vì $1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{0}}$ không xác định, nên giới hạn không tồn tại.

$Không tồn tại$

Bước 3

Lập giới hạn ở dạng giới hạn phải.

$lim_{x \to 0^{+}} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Bước 4

Tính giới hạn phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Bước 4.1.2

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$1 + lim_{x \to 0^{+}} {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Bước 4.2

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Viết lại ${\sin (4 x)}^{\cot (x)}$ ở dạng $e^{\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})}$ .

$1 + lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})}$

Bước 4.2.2

Khai triển $\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})$ bằng cách di chuyển $\cot (x)$ ra bên ngoài lôgarit.

$1 + lim_{x \to 0^{+}} e^{\cot (x) \ln (\sin (4 x))}$

Bước 4.3

Vì số mũ $\cot (x) \ln (\sin (4 x))$ tiến dần đến $- \infty$ , nên số lượng $e^{\cot (x) \ln (\sin (4 x))}$ tiến dần đến $0$ .

$1 + 0$

Bước 4.4

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 5

Nếu một trong các giới hạn một bên không tồn tại, thì giới hạn không tồn tại.

$Không tồn tại$