Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\cos (5 x)}$

Bước 1

Áp dụng các đẳng thức lượng giác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $\frac{\sin (2 x)}{\cos (5 x)}$ ở dạng một tích.

$lim_{x \to 0} \sin (2 x) \frac{1}{\cos (5 x)}$

Bước 1.2

Viết $\sin (2 x)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (5 x)}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Chia $\sin (2 x)$ cho $1$ .

$lim_{x \to 0} \sin (2 x) \frac{1}{\cos (5 x)}$

Bước 1.3.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (5 x)}$ sang $\sec (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \sin (2 x) \sec (5 x)$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$lim_{x \to 0} \sin (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sec (5 x)$

Bước 3

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\sin (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sec (5 x)$

Bước 4

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sec (5 x)$

Bước 5

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì secant liên tục.

$\sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} 5 x)$

Bước 6

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (5 lim_{x \to 0} x)$

Bước 7

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\sin (2 \cdot 0) \cdot \sec (5 lim_{x \to 0} x)$

Bước 7.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\sin (2 \cdot 0) \cdot \sec (5 \cdot 0)$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $2$ với $0$ .

$\sin (0) \cdot \sec (5 \cdot 0)$

Bước 8.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$0 \cdot \sec (5 \cdot 0)$

Bước 8.3

Nhân $5$ với $0$ .

$0 \cdot \sec (0)$

Bước 8.4

Giá trị chính xác của $\sec (0)$ là $1$ .

$0 \cdot 1$

Bước 8.5

Nhân $0$ với $1$ .

$0$