Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} {\tan (2 x)}^{x}$

Bước 1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${\tan (2 x)}^{x}$ ở dạng $e^{\ln ({\tan (2 x)}^{x})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({\tan (2 x)}^{x})}$

Bước 1.2

Khai triển $\ln ({\tan (2 x)}^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$lim_{x \to 0} e^{x \ln (\tan (2 x))}$

Bước 2

Lập giới hạn ở dạng giới hạn trái.

$lim_{x \to 0^{-}} e^{x \ln (\tan (2 x))}$

Bước 3

Tính các giới hạn bằng cách điền vào giá trị cho biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính giới hạn của $e^{x \ln (\tan (2 x))}$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$e^{0 \ln (\tan (2 \cdot 0))}$

Bước 3.2

Nhân $2$ với $0$ .

$e^{0 \ln (\tan (0))}$

Bước 3.3

Giá trị chính xác của $\tan (0)$ là $0$ .

$e^{0 \ln (0)}$

Bước 3.4

Vì $e^{0 \ln (0)}$ không xác định, nên giới hạn không tồn tại.

$Không tồn tại$

Bước 4

Lập giới hạn ở dạng giới hạn phải.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\tan (2 x))}$

Bước 5

Tính giới hạn phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\tan (2 x))}$

Bước 5.2

Viết lại $x \ln (\tan (2 x))$ ở dạng $\frac{\ln (\tan (2 x))}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\tan (2 x))}{\frac{1}{x}}}$

Bước 5.3

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\tan (2 x))}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Bước 5.3.1.2

Vì $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải, nên $\ln (\tan (2 x))$ giảm không giới hạn.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Bước 5.3.1.3

Vì tử số là một hằng số và mẫu số tiến dần đến $0$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến vô cực.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Bước 5.3.1.4

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Bước 5.3.2

Vì $\frac{- \infty}{\infty}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\tan (2 x))}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (2 x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Bước 5.3.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (2 x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \tan (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\tan (2 x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.3.2.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\tan (2 x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\tan (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.3.3

Viết lại $\tan (2 x)$ theo sin và cosin.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.3.4

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.3.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.6.1

Viết lại biểu thức.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.3.6.2

Nhân $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ với $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.7.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.3.7.2

Đạo hàm của $\tan (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sec^{2} (u_{2})$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.3.7.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.3.8

Kết hợp $\sec^{2} (2 x)$ và $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.3.9

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.3.10

Kết hợp $2$ và $\frac{\sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.3.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.3.12

Nhân $\frac{2 \sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ với $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.3.13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.13.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.13.1.1

Viết lại $\sec (2 x)$ theo sin và cosin.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{2} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.3.13.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.3.13.1.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.3.13.1.4

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{2}{\cos^{2} (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.3.13.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.13.1.5.1

Đưa $\cos (2 x)$ ra ngoài $\cos^{2} (2 x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{2}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.3.13.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{2}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.3.13.1.5.3

Viết lại biểu thức.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{2}{\cos (2 x)}}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.3.13.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.13.2.1

Viết lại $\frac{\frac{2}{\cos (2 x)}}{\sin (2 x)}$ ở dạng một tích.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.3.13.2.2

Nhân $\frac{2}{\cos (2 x)}$ với $\frac{1}{\sin (2 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.3.14

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Bước 5.3.3.15

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}{- x^{- 2}}}$

Bước 5.3.3.16

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 5.3.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)} \cdot - 1 x^{2}}$

Bước 5.3.5

Kết hợp $\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}$ và $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{2 x^{2}}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}$

Bước 5.4

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chuyển số hạng $- 1$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x^{2}}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}$

Bước 5.4.2

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}$

Bước 5.5

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \sin (2 x)}}$

Bước 5.5.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1.2.1

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$e^{- 2 \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \sin (2 x)}}$

Bước 5.5.1.2.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$e^{- 2 \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \sin (2 x)}}$

Bước 5.5.1.2.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \sin (2 x)}}$

Bước 5.5.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1.3.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}}$

Bước 5.5.1.3.2

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0^{+}} 2 x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}}$

Bước 5.5.1.3.3

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}}$

Bước 5.5.1.3.4

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}}$

Bước 5.5.1.3.5

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Bước 5.5.1.3.6

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1.3.6.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Bước 5.5.1.3.6.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}}$

Bước 5.5.1.3.7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1.3.7.1

Nhân $2$ với $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}}$

Bước 5.5.1.3.7.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$e^{- 2 \frac{0}{1 \cdot \sin (2 \cdot 0)}}$

Bước 5.5.1.3.7.3

Nhân $\sin (2 \cdot 0)$ với $1$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}}$

Bước 5.5.1.3.7.4

Nhân $2$ với $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\sin (0)}}$

Bước 5.5.1.3.7.5

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$e^{- 2 (\frac{0}{0})}$

Bước 5.5.1.3.7.6

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$e^{- 2 (\frac{0}{0})}$

Bước 5.5.1.3.8

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$e^{- 2 (\frac{0}{0})}$

Bước 5.5.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$e^{- 2 (\frac{0}{0})}$

Bước 5.5.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\cos (2 x) \sin (2 x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]}$

Bước 5.5.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]}}$

Bước 5.5.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]}}$

Bước 5.5.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \cos (2 x)$ và $g (x) = \sin (2 x)$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Bước 5.5.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (2 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Bước 5.5.3.4.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (2 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Bước 5.5.3.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Bước 5.5.3.5

Nâng $\cos (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{1} (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Bước 5.5.3.6

Nâng $\cos (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Bước 5.5.3.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{{\cos (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Bước 5.5.3.8

Cộng $1$ và $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Bước 5.5.3.9

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Bước 5.5.3.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Bước 5.5.3.11

Nhân $2$ với $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Bước 5.5.3.12

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos^{2} (2 x)$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cdot \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Bước 5.5.3.13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.13.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]}}$

Bước 5.5.3.13.2

Đạo hàm của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \sin (u_{2})$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

Bước 5.5.3.13.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

Bước 5.5.3.14

Nâng $\sin (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{1} (2 x) \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

Bước 5.5.3.15

Nâng $\sin (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

Bước 5.5.3.16

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - {\sin (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x]}}$

Bước 5.5.3.17

Cộng $1$ và $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

Bước 5.5.3.18

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}}$

Bước 5.5.3.19

Nhân $2$ với $- 1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]}}$

Bước 5.5.3.20

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x) \cdot 1}}$

Bước 5.5.3.21

Nhân $- 2$ với $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)}}$

Bước 5.5.4

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)}}$

Bước 5.5.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cos^{2} (2 x)$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (\cos^{2} (2 x)) - 2 \sin^{2} (2 x)}}$

Bước 5.5.4.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \sin^{2} (2 x)$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (\cos^{2} (2 x)) + 2 \cdot - 1 \sin^{2} (2 x)}}$

Bước 5.5.4.2.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (\cos^{2} (2 x)) + 2 (- \sin^{2} (2 x))$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (\cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x))}}$

Bước 5.5.4.2.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (\cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x))}}$

Bước 5.5.4.2.5

Viết lại biểu thức.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{\cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x)}}$

Bước 5.6

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x)}}$

Bước 5.6.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (2 x) - lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (2 x)}}$

Bước 5.6.3

Đưa số mũ $2$ từ $\cos^{2} (2 x)$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{{(lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x))}^{2} - lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (2 x)}}$

Bước 5.6.4

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} 2 x) - lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (2 x)}}$

Bước 5.6.5

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (2 x)}}$

Bước 5.6.6

Đưa số mũ $2$ từ $\sin^{2} (2 x)$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - {(lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x))}^{2}}}$

Bước 5.6.7

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - \sin^{2} (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}}$

Bước 5.6.8

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - \sin^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Bước 5.7

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - \sin^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Bước 5.7.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos^{2} (2 \cdot 0) - \sin^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Bước 5.7.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos^{2} (2 \cdot 0) - \sin^{2} (2 \cdot 0)}}$

Bước 5.8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1.1

Nhân $2$ với $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos^{2} (0) - \sin^{2} (2 \cdot 0)}}$

Bước 5.8.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$e^{- 2 \frac{0}{1^{2} - \sin^{2} (2 \cdot 0)}}$

Bước 5.8.1.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$e^{- 2 \frac{0}{1 - \sin^{2} (2 \cdot 0)}}$

Bước 5.8.1.4

Nhân $2$ với $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{1 - \sin^{2} (0)}}$

Bước 5.8.1.5

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{1 - 0^{2}}}$

Bước 5.8.1.6

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{1 - 0}}$

Bước 5.8.1.7

Nhân $- 1$ với $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{1 + 0}}$

Bước 5.8.1.8

Cộng $1$ và $0$ .

$e^{- 2 (\frac{0}{1})}$

Bước 5.8.2

Chia $0$ cho $1$ .

$e^{- 2 \cdot 0}$

Bước 5.8.3

Nhân $- 2$ với $0$ .

$e^{0}$

Bước 5.9

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$1$

Bước 6

Nếu một trong các giới hạn một bên không tồn tại, thì giới hạn không tồn tại.

$Không tồn tại$