Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \sqrt{| x |} e^{\sin (\frac{π}{x})}$

Bước 1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$lim_{x \to 0} \sqrt{| x |} \cdot lim_{x \to 0} e^{\sin (\frac{π}{x})}$

Bước 1.2

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\sqrt{lim_{x \to 0} | x |} \cdot lim_{x \to 0} e^{\sin (\frac{π}{x})}$

Bước 1.3

Di chuyển giới hạn vào bên trong các dấu giá trị tuyệt đối.

$\sqrt{| lim_{x \to 0} x |} \cdot lim_{x \to 0} e^{\sin (\frac{π}{x})}$

Bước 1.4

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\sqrt{| lim_{x \to 0} x |} \cdot e^{lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})}$

Bước 2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\sqrt{| 0 |} \cdot e^{lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})}$

Bước 3

Xét giới hạn trái.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (\frac{π}{x})$

Bước 4

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $\sin (\frac{π}{x})$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ - 0.1 & 0 \\ - 0.01 & 0 \\ - 0.001 & - 0.85104601 \\ - 0.0001 & 0.17871591 \\ - 0.00001 & 0.97661742 \\ - 0.000001 & 0.99374486 \\ - 0.0000001 & - 0.96737158 \\ - 0.00000001 & 0.43267965 \\ 0 & 0.00000098 \\ 0 & 0.00001749 \end{array}$

Bước 5

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $0$ . Cho nên, giới hạn của $\sin (\frac{π}{x})$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái là $0$ .

$0$

Bước 6

Xét giới hạn phải.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (\frac{π}{x})$

Bước 7

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $\sin (\frac{π}{x})$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & 0 \\ 0.001 & - 0.7449523 \\ 0.0001 & 0.99417798 \\ 0.00001 & 0.48320985 \\ 0.000001 & 0.17483031 \\ 0.0000001 & - 0.03148204 \\ 0.00000001 & - 0.74176093 \\ 0 & - 0.00000098 \\ 0 & - 0.00001749 \end{array}$

Bước 8

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $0$ . Cho nên, giới hạn của $\sin (\frac{π}{x})$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải là $0$ .

$\sqrt{| 0 |} \cdot e^{0}$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $0$ là $0$ .

$\sqrt{0} \cdot e^{0}$

Bước 9.2

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}} \cdot e^{0}$

Bước 9.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$0 \cdot e^{0}$

Bước 9.4

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$0 \cdot 1$

Bước 9.5

Nhân $0$ với $1$ .

$0$