Giải tích Ví dụ

$f (x) = 8 \sqrt{x}$ , $x = 4$

Bước 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Thay $4$ vào cho $x$ .

$y = 8 \sqrt{4}$

Bước 1.2

Rút gọn $8 \sqrt{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 8 \sqrt{4}$

Bước 1.2.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = 8 \sqrt{2^{2}}$

Bước 1.2.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$y = 8 \cdot 2$

Bước 1.2.4

Nhân $8$ với $2$ .

$y = 16$

Bước 2

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 4$ và $y = 16$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.2

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 2.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 2.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 2.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 2.7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 2.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$8 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Bước 2.9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 2.10

Kết hợp $8$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{8 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 2.11

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.12

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.13

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Bước 2.13.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.13.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.14

Tính đạo hàm tại $x = 4$ .

$\frac{4}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1

Di chuyển ${(4)}^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$4 \cdot 4^{- \frac{1}{2}}$

Bước 2.15.2

Nhân $4$ với $4^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.2.1

Nhân $4$ với $4^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.2.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $1$ .

$4^{1} \cdot 4^{- \frac{1}{2}}$

Bước 2.15.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4^{1 - \frac{1}{2}}$

Bước 2.15.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$4^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Bước 2.15.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4^{\frac{2 - 1}{2}}$

Bước 2.15.2.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$4^{\frac{1}{2}}$

Bước 2.15.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.3.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 2.15.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2 (\frac{1}{2})}$

Bước 2.15.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2^{2 (\frac{1}{2})}$

Bước 2.15.4.2

Viết lại biểu thức.

$2^{1}$

Bước 2.15.5

Tính số mũ.

$2$

Bước 3

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng hệ số góc $2$ và một điểm đã cho $(4, 16)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (16) = 2 \cdot (x - (4))$

Bước 3.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 16 = 2 \cdot (x - 4)$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn $2 \cdot (x - 4)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Viết lại.

$y - 16 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 4)$

Bước 3.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - 16 = 2 \cdot (x - 4)$

Bước 3.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 16 = 2 x + 2 \cdot - 4$

Bước 3.3.1.4

Nhân $2$ với $- 4$ .

$y - 16 = 2 x - 8$

Bước 3.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Cộng $16$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = 2 x - 8 + 16$

Bước 3.3.2.2

Cộng $- 8$ và $16$ .

$y = 2 x + 8$

Bước 4