Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\infty} e^{- 2 x} d x$

Bước 1

Viết tích phân ở dạng một giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x$

Bước 2

Giả sử $u = - 2 x$ . Sau đó $d u = - 2 d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = - 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 2.1.2

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Bước 2.1.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = - 2 x$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

Bước 2.3

Nhân $- 2$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = - 2 x$ .

$u_{upper} = - 2 t$

Bước 2.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2 t$

Bước 2.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Bước 3.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- 2 t} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- 2 t} \frac{e^{u}}{2} d u$

Bước 5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$lim_{t \to \infty} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} d u)$

Bước 6

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{- 2 t}$

Bước 7

Kết hợp $e^{u}]_{0}^{- 2 t}$ và $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2 t}}{2}$

Bước 8

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính $e^{u}$ tại $- 2 t$ và tại $0$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{2}$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- 2 t} - 1 \cdot 1}{2}$

Bước 8.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{2}$

Bước 9

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Chuyển số hạng $- 1$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{e^{- 2 t} - 1}{2}$

Bước 9.1.2

Chuyển số hạng $\frac{1}{2}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - 1$

Bước 9.1.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Bước 9.2

Vì số mũ $- 2 t$ tiến dần đến $- \infty$ , nên số lượng $e^{- 2 t}$ tiến dần đến $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Bước 9.3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Bước 9.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1)$

Bước 9.3.2.2

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$

Bước 9.3.2.3

Nhân $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2})$

Bước 9.3.2.3.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{2}$

Dạng thập phân:

$0.5$