Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to - 1} \sqrt{u^{2} x^{2} + 2 x u + 1}$

Bước 1

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\sqrt{lim_{x \to - 1} u^{2} x^{2} + 2 x u + 1}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 1$ .

$\sqrt{lim_{x \to - 1} u^{2} x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x u + lim_{x \to - 1} 1}$

Bước 3

Chuyển số hạng $u^{2}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\sqrt{u^{2} lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x u + lim_{x \to - 1} 1}$

Bước 4

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\sqrt{u^{2} {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x u + lim_{x \to - 1} 1}$

Bước 5

Chuyển số hạng $2 u$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\sqrt{u^{2} {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 u lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

Bước 6

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- 1$ .

$\sqrt{u^{2} {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 u lim_{x \to - 1} x + 1}$

Bước 7

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $- 1$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 1$ cho $x$ .

$\sqrt{u^{2} {(- 1)}^{2} + 2 u lim_{x \to - 1} x + 1}$

Bước 7.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 1$ cho $x$ .

$\sqrt{u^{2} {(- 1)}^{2} + 2 u \cdot - 1 + 1}$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại $u^{2} {(- 1)}^{2}$ ở dạng ${(u \cdot - 1)}^{2}$ .

$\sqrt{{(u \cdot - 1)}^{2} + 2 (u \cdot - 1) + 1}$

Bước 8.2

Giả sử $u = u \cdot - 1$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $u \cdot - 1$ .

$\sqrt{u^{2} + 2 u + 1}$

Bước 8.3

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\sqrt{u^{2} + 2 u + 1^{2}}$

Bước 8.3.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Bước 8.3.3

Viết lại đa thức này.

$\sqrt{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}$

Bước 8.3.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = u$ và $b = 1$ .

$\sqrt{{(u + 1)}^{2}}$

Bước 8.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $u \cdot - 1$ .

$\sqrt{{(u \cdot - 1 + 1)}^{2}}$

Bước 8.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $u$ .

$\sqrt{{(- 1 \cdot u + 1)}^{2}}$

Bước 8.5.2

Viết lại $- 1 u$ ở dạng $- u$ .

$\sqrt{{(- u + 1)}^{2}}$

Bước 8.6

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$- (- u + 1)$

Bước 8.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- - u - 1 \cdot 1$

Bước 8.8

Nhân $- - u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.8.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 u - 1 \cdot 1$

Bước 8.8.2

Nhân $u$ với $1$ .

$u - 1 \cdot 1$

Bước 8.9

Nhân $- 1$ với $1$ .

$u - 1$