Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x)}{\sin (x)}$

Bước 1

Áp dụng các đẳng thức lượng giác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $\tan (2 x)$ theo sin và cosin.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\sin (x)}$

Bước 1.2

Viết lại $\frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\sin (x)}$ ở dạng một tích.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Quy đổi từ $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ sang $\tan (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (2 x) \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 1.3.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (x)}$ sang $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (2 x) \csc (x)$

Bước 2

Xét giới hạn trái.

$lim_{x \to 0^{-}} \tan (2 x) \csc (x)$

Bước 3

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $\tan (2 x) \csc (x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái.

$\begin{array}{c} x & \tan (2 x) \csc (x) \\ - 0.1 & 2.0304828 \\ - 0.01 & 2.00030004 \\ - 0.001 & 2.000003 \end{array}$

Bước 4

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $2$ . Cho nên, giới hạn của $\tan (2 x) \csc (x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái là $2$ .

$2$

Bước 5

Xét giới hạn phải.

$lim_{x \to 0^{+}} \tan (2 x) \csc (x)$

Bước 6

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $\tan (2 x) \csc (x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải.

$\begin{array}{c} x & \tan (2 x) \csc (x) \\ 0.1 & 2.0304828 \\ 0.01 & 2.00030004 \\ 0.001 & 2.000003 \end{array}$

Bước 7

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $2$ . Cho nên, giới hạn của $\tan (2 x) \csc (x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải là $2$ .

$2$