Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x + \ln (x)}{1 + \cos (5 π x)}$

Bước 1

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - x + \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

Bước 1.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

Bước 1.1.2.2

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

Bước 1.1.2.3

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$\frac{1 - lim_{x \to 1} x + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

Bước 1.1.2.4

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $1$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

Bước 1.1.2.4.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (1)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

Bước 1.1.2.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.5.1

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

Bước 1.1.2.5.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

Bước 1.1.2.5.3

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

Bước 1.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} \cos (5 π x)}$

Bước 1.1.3.1.2

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{0}{1 + lim_{x \to 1} \cos (5 π x)}$

Bước 1.1.3.1.3

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{0}{1 + \cos (lim_{x \to 1} 5 π x)}$

Bước 1.1.3.1.4

Chuyển số hạng $5 π$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{0}{1 + \cos (5 π lim_{x \to 1} x)}$

Bước 1.1.3.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{0}{1 + \cos (5 π \cdot 1)}$

Bước 1.1.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1.1

Nhân $5$ với $1$ .

$\frac{0}{1 + \cos (5 π)}$

Bước 1.1.3.3.1.2

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$\frac{0}{1 + \cos (π)}$

Bước 1.1.3.3.1.3

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Bước 1.1.3.3.1.4

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Bước 1.1.3.3.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Bước 1.1.3.3.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 1.1.3.3.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.1.3.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x + \ln (x)}{1 + \cos (5 π x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x + \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x + \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Bước 1.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x + \ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Bước 1.3.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Bước 1.3.4

Tính $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Bước 1.3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Bước 1.3.4.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Bước 1.3.5

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Bước 1.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 1 + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Bước 1.3.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Bước 1.3.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \cos (5 π x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (5 π x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (5 π x)]}$

Bước 1.3.8

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 + \frac{d}{d x} [\cos (5 π x)]}$

Bước 1.3.9

Tính $\frac{d}{d x} [\cos (5 π x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.9.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 5 π x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.9.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $5 π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 π x]}$

Bước 1.3.9.1.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (u) \frac{d}{d x} [5 π x]}$

Bước 1.3.9.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [5 π x]}$

Bước 1.3.9.2

Vì $5 π$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 π x$ đối với $x$ là $5 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (5 π x) (5 π \frac{d}{d x} [x])}$

Bước 1.3.9.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (5 π x) (5 π \cdot 1)}$

Bước 1.3.9.4

Nhân $5$ với $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (5 π x) (5 π)}$

Bước 1.3.9.5

Nhân $5$ với $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - 5 \sin (5 π x) π}$

Bước 1.3.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.10.1

Trừ $5 \sin (5 π x) π$ khỏi $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{- 5 \sin (5 π x) π}$

Bước 1.3.10.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- 5 \sin (5 π x) π$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{- 5 π \sin (5 π x)}$

Bước 1.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x}}{- 5 π \sin (5 π x)}$

Bước 1.4.2

Kết hợp $- 1$ và $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} + \frac{- x}{x}}{- 5 π \sin (5 π x)}$

Bước 1.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1 - x}{x}}{- 5 π \sin (5 π x)}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Chuyển số hạng $\frac{1}{- 5 π}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{\frac{1 - x}{x}}{\sin (5 π x)}$

Bước 2.2

Rút gọn đối số giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{x} \cdot \frac{1}{\sin (5 π x)}$

Bước 2.2.2

Nhân $\frac{1 - x}{x}$ với $\frac{1}{\sin (5 π x)}$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{x \sin (5 π x)}$

Bước 3

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1 - x}{lim_{x \to 1} x \sin (5 π x)}$

Bước 3.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} x \sin (5 π x)}$

Bước 3.1.2.2

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{1 - lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} x \sin (5 π x)}$

Bước 3.1.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.3.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x \sin (5 π x)}$

Bước 3.1.2.3.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x \sin (5 π x)}$

Bước 3.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Bước 3.1.3.2

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot \sin (lim_{x \to 1} 5 π x)}$

Bước 3.1.3.3

Chuyển số hạng $5 π$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot \sin (5 π lim_{x \to 1} x)}$

Bước 3.1.3.4

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $1$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.4.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{1 \cdot \sin (5 π lim_{x \to 1} x)}$

Bước 3.1.3.4.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{1 \cdot \sin (5 π \cdot 1)}$

Bước 3.1.3.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.5.1

Nhân $\sin (5 π \cdot 1)$ với $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{\sin (5 π \cdot 1)}$

Bước 3.1.3.5.2

Nhân $5$ với $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{\sin (5 π)}$

Bước 3.1.3.5.3

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{\sin (π)}$

Bước 3.1.3.5.4

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Bước 3.1.3.5.5

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{0}$

Bước 3.1.3.5.6

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{0}$

Bước 3.1.3.6

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{0}$

Bước 3.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{0}$

Bước 3.2

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{x \sin (5 π x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

Bước 3.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

Bước 3.3.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

Bước 3.3.4

Tính $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

Bước 3.3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

Bước 3.3.4.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

Bước 3.3.5

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

Bước 3.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \sin (5 π x)$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \frac{d}{d x} [\sin (5 π x)] + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 3.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 5 π x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.7.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $5 π x$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 π x] + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 3.3.7.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (u) \frac{d}{d x} [5 π x] + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 3.3.7.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 π x$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (5 π x) \frac{d}{d x} [5 π x] + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 3.3.8

Vì $5 π$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 π x$ đối với $x$ là $5 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (5 π x) \cdot 5 π \frac{d}{d x} [x] + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 3.3.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (5 π x) \cdot 5 π \cdot 1 + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 3.3.10

Nhân $5$ với $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (5 π x) \cdot 5 π + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 3.3.11

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $\cos (5 π x)$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cdot 5 \cdot \cos (5 π x) π + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 3.3.12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cdot 5 \cos (5 π x) π + \sin (5 π x) \cdot 1}$

Bước 3.3.13

Nhân $\sin (5 π x)$ với $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cdot 5 \cos (5 π x) π + \sin (5 π x)}$

Bước 3.3.14

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{5 π x \cos (5 π x) + \sin (5 π x)}$

Bước 4

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} - 1}{lim_{x \to 1} 5 π x \cos (5 π x) + \sin (5 π x)}$

Bước 4.2

Tính giới hạn của $- 1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 1} 5 π x \cos (5 π x) + \sin (5 π x)}$

Bước 4.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 1} 5 π x \cos (5 π x) + lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Bước 4.4

Chuyển số hạng $5 π$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π lim_{x \to 1} x \cos (5 π x) + lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Bước 4.5

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \cos (5 π x) + lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Bước 4.6

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (lim_{x \to 1} 5 π x) + lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Bước 4.7

Chuyển số hạng $5 π$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (5 π lim_{x \to 1} x) + lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Bước 4.8

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (5 π lim_{x \to 1} x) + \sin (lim_{x \to 1} 5 π x)}$

Bước 4.9

Chuyển số hạng $5 π$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (5 π lim_{x \to 1} x) + \sin (5 π lim_{x \to 1} x)}$

Bước 5

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $1$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot 1 \cdot \cos (5 π lim_{x \to 1} x) + \sin (5 π lim_{x \to 1} x)}$

Bước 5.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot 1 \cdot \cos (5 π \cdot 1) + \sin (5 π lim_{x \to 1} x)}$

Bước 5.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot 1 \cdot \cos (5 π \cdot 1) + \sin (5 π \cdot 1)}$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot 1 \cdot \cos (5 π \cdot 1) + \sin (5 π \cdot 1)}$

Bước 6.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $5$ với $1$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot \cos (5 π \cdot 1) + \sin (5 π \cdot 1)}$

Bước 6.2.2

Nhân $5$ với $1$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot \cos (5 π) + \sin (5 π \cdot 1)}$

Bước 6.2.3

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot \cos (π) + \sin (5 π \cdot 1)}$

Bước 6.2.4

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot (- \cos (0)) + \sin (5 π \cdot 1)}$

Bước 6.2.5

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot (- 1 \cdot 1) + \sin (5 π \cdot 1)}$

Bước 6.2.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot - 1 + \sin (5 π \cdot 1)}$

Bước 6.2.7

Nhân $- 1$ với $5$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{- 5 π + \sin (5 π \cdot 1)}$

Bước 6.2.8

Nhân $5$ với $1$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{- 5 π + \sin (5 π)}$

Bước 6.2.9

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{- 5 π + \sin (π)}$

Bước 6.2.10

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{- 5 π + \sin (0)}$

Bước 6.2.11

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{- 5 π + 0}$

Bước 6.2.12

Cộng $- 5 π$ và $0$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{- 5 π}$

Bước 6.3

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{5 π}$

Bước 6.4

Nhân $- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{5 π}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Nhân $\frac{1}{5 π}$ với $\frac{1}{5 π}$ .

$- \frac{1}{5 π (5 π)}$

Bước 6.4.2

Nhân $5$ với $5$ .

$- \frac{1}{25 π π}$

Bước 6.4.3

Nâng $π$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{1}{25 (π^{1} π)}$

Bước 6.4.4

Nâng $π$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{1}{25 (π^{1} π^{1})}$

Bước 6.4.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{1}{25 π^{1 + 1}}$

Bước 6.4.6

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{1}{25 π^{2}}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{1}{25 π^{2}}$

Dạng thập phân:

$- 0.00405284 \dots$