Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 1} \frac{{(10 x - 5)}^{2} - 25}{5 x - 5}$

Bước 1

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 1} {(10 x - 5)}^{2} - 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Bước 1.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} {(10 x - 5)}^{2} - lim_{x \to 1} 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Bước 1.1.2.1.2

Đưa số mũ $2$ từ ${(10 x - 5)}^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{(lim_{x \to 1} 10 x - 5)}^{2} - lim_{x \to 1} 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Bước 1.1.2.1.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} 10 x - lim_{x \to 1} 5)}^{2} - lim_{x \to 1} 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Bước 1.1.2.1.4

Chuyển số hạng $10$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{{(10 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 5)}^{2} - lim_{x \to 1} 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Bước 1.1.2.1.5

Tính giới hạn của $5$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{{(10 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5)}^{2} - lim_{x \to 1} 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Bước 1.1.2.1.6

Tính giới hạn của $25$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{{(10 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5)}^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Bước 1.1.2.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{{(10 \cdot 1 - 1 \cdot 5)}^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Bước 1.1.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1.1.1

Nhân $10$ với $1$ .

$\frac{{(10 - 1 \cdot 5)}^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Bước 1.1.2.3.1.1.2

Nhân $- 1$ với $5$ .

$\frac{{(10 - 5)}^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Bước 1.1.2.3.1.2

Trừ $5$ khỏi $10$ .

$\frac{5^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Bước 1.1.2.3.1.3

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{25 - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Bước 1.1.2.3.1.4

Nhân $- 1$ với $25$ .

$\frac{25 - 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Bước 1.1.2.3.2

Trừ $25$ khỏi $25$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Bước 1.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 5 x - lim_{x \to 1} 5}$

Bước 1.1.3.1.2

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{0}{5 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 5}$

Bước 1.1.3.1.3

Tính giới hạn của $5$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{0}{5 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5}$

Bước 1.1.3.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{0}{5 \cdot 1 - 1 \cdot 5}$

Bước 1.1.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1.1

Nhân $5$ với $1$ .

$\frac{0}{5 - 1 \cdot 5}$

Bước 1.1.3.3.1.2

Nhân $- 1$ với $5$ .

$\frac{0}{5 - 5}$

Bước 1.1.3.3.2

Trừ $5$ khỏi $5$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 1.1.3.3.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.1.3.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 1} \frac{{(10 x - 5)}^{2} - 25}{5 x - 5} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(10 x - 5)}^{2} - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(10 x - 5)}^{2} - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Bước 1.3.2

Viết lại ${(10 x - 5)}^{2}$ ở dạng $(10 x - 5) (10 x - 5)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [(10 x - 5) (10 x - 5) - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Bước 1.3.3

Khai triển $(10 x - 5) (10 x - 5)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [10 x (10 x - 5) - 5 (10 x - 5) - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Bước 1.3.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [10 x (10 x) + 10 x \cdot - 5 - 5 (10 x - 5) - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Bước 1.3.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [10 x (10 x) + 10 x \cdot - 5 - 5 (10 x) - 5 \cdot - 5 - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Bước 1.3.4

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [10 \cdot 10 x \cdot x + 10 x \cdot - 5 - 5 (10 x) - 5 \cdot - 5 - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Bước 1.3.4.1.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [10 \cdot 10 (x \cdot x) + 10 x \cdot - 5 - 5 (10 x) - 5 \cdot - 5 - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Bước 1.3.4.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [10 \cdot 10 x^{2} + 10 x \cdot - 5 - 5 (10 x) - 5 \cdot - 5 - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Bước 1.3.4.1.3

Nhân $10$ với $10$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [100 x^{2} + 10 x \cdot - 5 - 5 (10 x) - 5 \cdot - 5 - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Bước 1.3.4.1.4

Nhân $- 5$ với $10$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [100 x^{2} - 50 x - 5 (10 x) - 5 \cdot - 5 - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Bước 1.3.4.1.5

Nhân $10$ với $- 5$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [100 x^{2} - 50 x - 50 x - 5 \cdot - 5 - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Bước 1.3.4.1.6

Nhân $- 5$ với $- 5$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [100 x^{2} - 50 x - 50 x + 25 - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Bước 1.3.4.2

Trừ $50 x$ khỏi $- 50 x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [100 x^{2} - 100 x + 25 - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Bước 1.3.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $100 x^{2} - 100 x + 25 - 25$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100 x] + \frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100 x] + \frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Bước 1.3.6

Tính $\frac{d}{d x} [100 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1

Vì $100$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $100 x^{2}$ đối với $x$ là $100 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{100 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100 x] + \frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Bước 1.3.6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{100 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 100 x] + \frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Bước 1.3.6.3

Nhân $2$ với $100$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x + \frac{d}{d x} [- 100 x] + \frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Bước 1.3.7

Tính $\frac{d}{d x} [- 100 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.7.1

Vì $- 100$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 100 x$ đối với $x$ là $- 100 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Bước 1.3.7.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Bước 1.3.7.3

Nhân $- 100$ với $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100 + \frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Bước 1.3.8

Vì $25$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $25$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100 + 0 + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Bước 1.3.9

Vì $- 25$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 25$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100 + 0 + 0}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Bước 1.3.10

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.10.1

Cộng $200 x - 100$ và $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100 + 0}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Bước 1.3.10.2

Cộng $200 x - 100$ và $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Bước 1.3.11

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x - 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100}{\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Bước 1.3.12

Tính $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.12.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100}{5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Bước 1.3.12.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100}{5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Bước 1.3.12.3

Nhân $5$ với $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100}{5 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Bước 1.3.13

Vì $- 5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100}{5 + 0}$

Bước 1.3.14

Cộng $5$ và $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100}{5}$

Bước 1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $200 x - 100$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Đưa $5$ ra ngoài $200 x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{5 (40 x) - 100}{5}$

Bước 1.4.2

Đưa $5$ ra ngoài $- 100$ .

$lim_{x \to 1} \frac{5 (40 x) + 5 \cdot - 20}{5}$

Bước 1.4.3

Đưa $5$ ra ngoài $5 (40 x) + 5 (- 20)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{5 (40 x - 20)}{5}$

Bước 1.4.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.4.1

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$lim_{x \to 1} \frac{5 (40 x - 20)}{5 (1)}$

Bước 1.4.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to 1} \frac{5 (40 x - 20)}{5 \cdot 1}$

Bước 1.4.4.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to 1} \frac{40 x - 20}{1}$

Bước 1.4.4.4

Chia $40 x - 20$ cho $1$ .

$lim_{x \to 1} 40 x - 20$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$lim_{x \to 1} 40 x - lim_{x \to 1} 20$

Bước 2.2

Chuyển số hạng $40$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$40 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 20$

Bước 2.3

Tính giới hạn của $20$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$40 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 20$

Bước 3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$40 \cdot 1 - 1 \cdot 20$

Bước 4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nhân $40$ với $1$ .

$40 - 1 \cdot 20$

Bước 4.1.2

Nhân $- 1$ với $20$ .

$40 - 20$

Bước 4.2

Trừ $20$ khỏi $40$ .

$20$